2011年上海市梅山高中九年级数学竞赛试卷

一、填空题（每题5分，共50分）

• 1．两个相似多边形面积之比为1：16，周长之差为9，则较小多边形周长为

  ．
  组卷：63引用：2难度：0.9

  解析

• 2．△ABC内接于圆O，且AB=AC，圆O的半径等于6cm,O点到BC距离等于2cm,则AB长为

  cm.
  组卷：659引用：3难度：0.9

  解析

• 3．如图所示，AB是半圆的直径，∠C的两边分别与半圆相切于A、D两点，DE⊥AB，垂足为E，AE=3，BE=1，则图中阴影部分的面积为

   

  ．
  组卷：82引用：2难度：0.7

  解析

• 4．编制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花柱架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A₁C₁B₁，A₂C₂B₂，…则每一根这样的竹条的长度最少是

   

  ．
  组卷：366引用：26难度：0.7

  解析

• 5．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，则|OA|•|OB|=

   

  ．
  组卷：93引用：1难度：0.7

  解析

二、解答题（共70分）

• 15．在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC于点N．
  
  （1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：
  ①求证：△ABN≌△ADN；
  ②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值．
  （2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．
  组卷：1160引用：58难度：0.1

  解析

• 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12）．
  （1）求此二次函数的表达式；
  （2）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，若锐角∠PCO=∠ACO，写出此时点P的坐标；
  （3）若直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l,使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：582引用：1难度：0.1

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