2021-2022学年北京市清华大学附中高一（下）期末数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

• 1．已知集合A={1，2，3，4，5}，且A∩B=A，则集合B可以是（　　）

  A．{x|2x＞1}

  B．{x|x2＞1}

  C．∅

  D．{1，2，3}
  组卷：98引用：1难度：0.7

  解析

• 2．已知a,b∈R，a+3i=（b+i）i（i为虚数单位），则（　　）

  A．a=1，b=-3

  B．a=-1，b=3

  C．a=-1，b=-3

  D．a=1，b=3
  组卷：2518引用：21难度：0.8

  解析

• 3．已知cosα=

  3

  5

  ，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，则tanβ=（　　）

  A． 4 3

  B．- 4 3

  C． 3 4

  D．- 3 4
  组卷：450引用：1难度：0.8

  解析

• 4．在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记

  CA

  =

  m

  ，

  CD

  =

  n

  ，则

  CB

  =（　　）

  A．3 m -2 n

  B．-2 m +3 n

  C．3 m +2 n

  D．2 m +3 n
  组卷：6802引用：37难度：0.7

  解析

• 5．已知a=3^0.5，b=log₃2，c=tan

  2

  π

  3

  ，则（　　）

  A．a＞b＞c

  B．b＞a＞c

  C．c＞a＞b

  D．a＞c＞b
  组卷：296引用：5难度：0.7

  解析

• 6．已知向量

  a

  =（3，4），

  b

  =（1，0），

  c

  =

  a

  +t

  b

  ，若

  a

  ，

  c

  的夹角与

  b

  ，

  c

  的夹角相等，则t=（　　）

  A．-6

  B．-5

  C．5

  D．6
  组卷：296引用：3难度：0.7

  解析

• 7．设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的（　　）

  A．充分而不必要条件	B．必要而不充分条件
  C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：175引用：2难度：0.8

  解析

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

• 20．设a＞0，函数f（x）=ae^x+

  1

  2

  x²+ax+a+1，g（x）=lnx+ax+a.
  （Ⅰ）若f′（0）=2，求a的值；
  （Ⅱ）求证：f（x）恰有1个极小值点，g（x）恰有1个零点；
  （Ⅲ）若x₁是f（x）的极值点，x₂是g（x）的零点，求证：x₁=-ax₂-a.
  组卷：111引用：3难度：0.4

  解析

• 21．设数列A：a₁，a₂，…，a_n中每一项都是正整数，如果

  a

  1

  a

  2

  ，

  a

  2

  a

  3

  ，…，

  a

  n

  -

  1

  a

  n

  两两不同，则称数列A为L一数列．设G（A）={a_i|1≤i≤n}，并且记G（A）中的元素个数为|G（A）|．
  （Ⅰ）判断数列A₁：1，3，1，4与数列A₂：1，2，2，4是否为L一数列，并说明理由；
  （Ⅱ）若数列A为L一数列，且n=9，求证：|G（A）|的最小值为4；
  （Ⅲ）若数列A：a₁，a₂，…，a₃₂为L一数列，且|G（A）|=6，求证：a₁+a₂+…+a₃₂≥132．
  组卷：37引用：1难度：0.6

  解析