人教五四新版九年级（上）中考题单元试卷：第28章 二次函数（16）

一、选择题（共1小题）

• 1．如图，抛物线y=-x²+2x+m+1交x轴于点A（a,0）和B（b,0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：
  ①当x＞0时，y＞0；
  ②若a=-1，则b=4；
  ③抛物线上有两点P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），若x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，则y₁＞y₂；
  ④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6

  2

  ．
  其中真命题的序号是（　　）

  A．①

  B．②

  C．③

  D．④
  组卷：5268引用：65难度：0.2

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二、填空题（共2小题）

• 2．某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种

  棵橘子树，橘子总个数最多．
  组卷：1443引用：58难度：0.7

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• 3．如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m,AB=36m,D、E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m,则DE的长为

  m.
  组卷：2727引用：63难度：0.7

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三、解答题（共27小题）

• 4．如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=

  3

  4

  x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
  （3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．
  组卷：5247引用：59难度：0.5

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• 5．如图，已知二次函数L₁：y=ax²-2ax+a+3（a＞0）和二次函数L₂：y=-a（x+1）²+1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．
  （1）函数y=ax²-2ax+a+3（a＞0）的最小值为

  ，当二次函数L₁，L₂的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是

  ．
  （2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．
  （3）若二次函数L₂的图象与x轴的右交点为A（m,0），当△AMN为等腰三角形时，求方程-a（x+1）²+1=0的解．
  组卷：2922引用：55难度：0.5

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• 6．如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
  （1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
  （2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；
  （3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：10796引用：70难度：0.1

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• 7．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A、B，与直线AC：y=-x-6交y轴于点C，点D是抛物线的顶点，且横坐标为-2．
  （1）求出抛物线的解析式．
  （2）判断△ACD的形状，并说明理由．
  （3）直线AD交y轴于点F，在线段AD上是否存在一点P，使∠ADC=∠PCF？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
  组卷：2001引用：52难度：0.5

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• 8．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（-3，2），B（0，-2），其对称轴为直线x=

  5

  2

  ，C（0，

  1

  2

  ）为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D．
  （1）求抛物线的函数表达式；
  （2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积；
  （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
  
  组卷：3508引用：51难度：0.5

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• 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-

  1

  6

  x²+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t,0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D．
  （1）求b、c的值；
  （2）当t为何值时，点D落在抛物线上；
  （3）是否存在t,使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：3580引用：53难度：0.5

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• 10．如图1，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C交x轴于E（4，0）．
  （1）写出D的坐标和直线l的解析式；
  （2）P（x,y）是线段BD上的动点（不与B，D重合），PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
  （3）点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′．在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：3021引用：55难度：0.5

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三、解答题（共27小题）

• 29．一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：
  

  x	3000	3200	3500	4000
  y	100	96	90	80

  （1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式．
  （2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表：
  

  租出的车辆数		未租出的车辆数
  租出每辆车的月收益		所有未租出的车辆每月的维护费

  （3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．
  组卷：955引用：55难度：0.5

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• 30．某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x（元），年销售量为y（万件），当35≤x＜50时，y与x之间的函数关系式为y=20-0.2x；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元（含）到45元（含）之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．
  （1）当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y（万件）与x（元）之间的函数关系式．
  （2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润=年销售收入-生产成本）为W（万元），那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？
  （3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x（元）在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利=两年的年销售利润之和-投资成本）不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围．
  组卷：2496引用：53难度：0.1

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