2023-2024学年重庆市西南大学附中高三（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．集合

  A

  =

  {

  x

  |

  y

  =

  -

  x

  2

  +

  2

  x

  +

  3

  }

  ，集合B={y|y=e^x}，则A∪B=（　　）

  A．（0，1]

  B．（0，3]

  C．[-1，+∞）

  D．[-3，+∞）
  组卷：209引用：5难度：0.8

  解析

• 2．已知扇形的圆心角是60°，半径为2，则扇形的面积为（　　）

  A．60

  B．120

  C． π 3

  D． 2 π 3
  组卷：287引用：1难度：0.8

  解析

• 3．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2AA₁，M是A₁B₁的中点，则异面直线A₁C与BM所成角的余弦值为（　　）
  ​

  A． 6 2

  B． 10 5

  C． 6 3

  D． 15 5
  组卷：93引用：3难度：0.6

  解析

• 4．“tanx=tany”是“x=y+2kπ（k∈Z）”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：206引用：5难度：0.5

  解析

• 5．若a＞0，b＞0，a+b=4，则下列结论正确的是（　　）

  A． a + b ≤ 2	B．2a+2b≥8
  C．（a+1）2+（b+3）2≤32	D． a 2 3 + b 2 ≥ 6
  组卷：71引用：1难度：0.5

  解析

• 6．正四棱锥P-ABCD的高为3，体积为32，则其外接球的表面积为（　　）

  A． 625 36 π

  B． 625 18 π

  C． 625 9 π

  D． 25 6 π
  组卷：132引用：1难度：0.7

  解析

• 7．一个蛋糕店制作一个大型蛋糕，蛋糕是由多个高度均为0.1米的圆柱形蛋糕重叠而成，上层蛋糕会覆盖相邻下层蛋糕的上底面一半的面积，最底层蛋糕的半径为1米．若该蛋糕的体积至少为0.6立方米，则蛋糕至少需要做的层数为（　　）（其中 π≈3.14）

  A．3

  B．4

  C．5

  D．6
  组卷：9引用：1难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐．王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：
  

  到校时间	7：30之前	7：30-7：35	7：35-7：40	7：40-7：45	7：45-7：50	7：50之后
  乘地铁	0.1	0.15	0.35	0.2	0.15	0.05
  乘汽车	0.25	0.3	0.2	0.1	0.1	0.05

  （例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为0.35．）
  （1）某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车．求他当天7：40-7：45到校的概率；
  （2）已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校．且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校．记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为X，求E（X）；
  （3）已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校．从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐地铁去学校．记P_n为王老师第n天坐地铁去学校的概率，求{P_n}的通项公式．
  组卷：128引用：2难度：0.5

  解析

• 22．已知f（x）=2ae^1-x（1-x），其中a≠0．
  （1）求f（x）在 x=1 处的切线方程；
  （2）若f（x）+

  1

  a

  x³-x≥0在[

  1

  2

  ，+∞）上恒成立，求a的取值范围．
  组卷：68引用：1难度：0.1

  解析