2020-2021学年安徽省阜阳市太和一中奥赛班高二（上）开学数学试卷

一、单选题

• 1．已知a,b为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：
  ①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若a∥α，a∥β，则α∥β；
  ③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
  其中正确命题序号为（　　）

  A．②③

  B．②③④

  C．①④

  D．①②③
  组卷：159引用：10难度：0.6

  解析

• 2．已知一个正三棱锥的高为3，如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中O′B′=O′C′=1，则此三棱锥的体积为（　　）

  A． 3

  B． 3 3

  C． 3 4

  D． 3 3 4
  组卷：952引用：10难度：0.9

  解析

• 3．在三棱锥A-BCD的各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG=P，则点P（　　）

  A．一定在直线BD上

  B．一定在直线AC上

  C．在直线AC或BD上

  D．不在直线AC上，也不在直线BD上
  组卷：265引用：6难度：0.9

  解析

• 4．四面体ABCD中，AB=CD=3，其余棱长均为4，E、F分别为AB、CD上的点（不含端点），则（　　）

  A．不存在E，使得EF⊥CD

  B．存在E，使得DE⊥CD

  C．存在E，使得DE⊥平面ABC

  D．存在E，F，使得平面CDE⊥平面ABF
  组卷：197引用：1难度：0.7

  解析

• 5．如图，在单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在线段AD₁上运动，给出以下四个命题：
  ①异面直线A₁P与BC₁间的距离为定值；
  ②三棱锥D-BPC₁的体积为定值；
  ③异面直线C₁P与直线CB₁所成的角为定值；
  ④二面角P-BC₁-D的大小为定值．
  其中真命题有（　　）

  A．1个

  B．2个

  C．3个

  D．4个
  组卷：424引用：10难度：0.7

  解析

• 6．二面角α-l-β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为（　　）

  A．2a

  B． 5 a

  C．a

  D． 3 a
  组卷：118引用：17难度：0.9

  解析

• 7．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA₁D₁D内一点，若EF∥平面BB₁D₁D，则EF长度的范围为（　　）

  A．[ 2 ， 3 ]

  B．[ 2 ， 5 ]

  C．[ 2 ， 6 ]

  D．[ 2 ， 7 ]
  组卷：365引用：15难度：0.5

  解析

三、解答题

• 21．已知四棱锥S-ABCD的底面为平行四边形，且SD⊥平面ABCD，AB=2AD=2SD，∠DCB=60°，M，N分别为SB，SC的中点，过MN作平面MNPQ分别与线段CD，AB相交于点P，Q，且

  AQ

  =

  λ

  AB

  ．
  （1）当

  λ

  =

  1

  2

  时，证明：平面MNPQ∥平面SAD；
  （2）是否存在实数λ，使得二面角M-PQ-B为60°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：41引用：2难度：0.3

  解析

• 22．已知梯形ABCD中，AD∥BC，

  ∠

  ABC

  =∠

  BAD

  =

  π

  2

  ，AB=BC=2AD=4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE=x,沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．
  （1）当x=2时，
  ①证明：EF⊥平面ABE；
  ②求二面角D-BF-E的余弦值；
  （2）三棱锥D-FBC的体积是否可能等于几何体ABE-FDC体积的

  4

  9

  ？并说明理由．
  组卷：75引用：4难度：0.6

  解析