2009-2010学年高三强化班数学寒假作业（数列）

一、填空题（共11小题，每小题5分，满分55分）

• 1．已知无穷等比数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=1-a_n，则该数列所有项的和为

  ．
  组卷：9引用：2难度：0.5

  解析

• 2．设a₁，a₂，…，a_n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对

  （

  n

  ,

  a

  1

  d

  ）

  所组成的集合为

  ．
  组卷：310引用：23难度：0.7

  解析

• 3．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n．若S_2k=72，且a_k+1=18-a_k，则正整数k=

  ．
  组卷：45引用：8难度：0.7

  解析

• 4．已知数列{a_n}的通项公式是a_n=2^n-1，数列{b_n}的通项公式是b_n=3n,令集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*．将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{c_n}．则数列{c_n}的前28项的和S₂₈=

  ．
  组卷：79引用：7难度：0.7

  解析

二、解答题（共2小题，满分0分）

• 12．已知各项为正数的等比数列{a_n}（n∈N^*）的公比为q（q≠1），有如下真命题：若

  n

  1

  +

  n

  2

  2

  =

  p

  ，则

  （

  a

  n

  1

  •

  a

  n

  2

  ）

  1

  2

  =

  a

  p

  （其中n₁、n₂、p为正整数）．
  （1）若

  n

  1

  +

  n

  2

  2

  =

  p

  +

  1

  2

  ，试探究

  （

  a

  n

  1

  •

  a

  n

  2

  ）

  1

  2

  与a_p、q之间有何等量关系，并给予证明；
  （2）对（1）中探究得出的结论进行推广，写出一个真命题，并给予证明．
  组卷：20引用：2难度：0.5

  解析

• 13．已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=

  2

  3

  a

  n

  +n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．
  （Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a_n}不是等比数列；
  （Ⅱ）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
  （Ⅲ）设0＜a＜b,S_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
  组卷：673引用：12难度：0.1

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