2022-2023学年广东省深圳市科学高中高二（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知集合A={x|x²-x-2＞0}，则∁_RA=（　　）

  A．{x|-1＜x＜2}

  B．{x|-1≤x≤2}

  C．{x|x＜-1}∪{x|x＞2}

  D．{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
  组卷：193引用：2难度：0.8

  解析

• 2．在复平面内，复数z₁，z₂对应的点分别是（2，-1），（1，-3），则

  z

  2

  z

  1

  的虚部是（　　）

  A．i

  B．-i

  C．1

  D．-1
  组卷：205引用：6难度：0.8

  解析

• 3．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为

  V

  =

  1

  12

  ×

  （底面圆的周长的平方×高），则由此可推得圆周率π的取值为（　　）

  A．3

  B．3.1

  C．3.14

  D．3.2
  组卷：358引用：9难度：0.9

  解析

• 4．已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线过双曲线

  x

  2

  3

  -

  y

  2

  =

  1

  的一个焦点，则p=（　　）

  A．1

  B．2

  C．4

  D．8
  组卷：334引用：4难度：0.7

  解析

• 5．已知向量

  a

  =

  （

  7

  sinθ

  -

  1

  ，

  5

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，-

  cos

  2

  θ

  ）

  ，若

  a

  ⊥

  b

  ，则cos2θ=（　　）

  A． - 7 25

  B． 7 25

  C． - 24 25

  D． 24 25
  组卷：607引用：8难度：0.7

  解析

• 6．若幂函数f（x）的图象过点

  （

  2

  2

  ，

  1

  2

  ）

  ，则函数

  g

  （

  x

  ）

  =

  f

  （

  x

  ）

  e

  x

  的递增区间为（　　）

  A．（0，2）	B．（-∞，0）∪（2，+∞）
  C．（-2，0）	D．（-∞，-2）∪（0，+∞）
  组卷：276引用：3难度：0.6

  解析

• 7．六名同学排成一排照相，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的概率为（　　）

  A． 2 5

  B． 1 5

  C． 2 15

  D． 1 10
  组卷：229引用：4难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．已知椭圆

  E

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过T（2，1），直线l：y=x+m与椭圆E交于A、B．
  （1）求椭圆E的标准方程；
  （2）设直线TA、TB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁+k₂=0；
  （3）直线l'是过点T的椭圆E的切线，且与直线l交于点P，定义∠PTB为椭圆E的弦切角，∠TAB为弦TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角∠PTB与弦TB对应的椭圆周角∠TAB的关系，并证明你的结论．
  组卷：134引用：5难度：0.4

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• 22．已知函数f（x）=ae^x-sinx-a.（注：e=2.718281…是自然对数的底数）．
  （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
  （2）当a＞0时，函数f（x）在区间

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  内有唯一的极值点x₁．
  （ⅰ）求实数a的取值范围；
  （ⅱ）求证：f（x）在区间（0，π）内有唯一的零点x₀，且x₀＜2x₁．
  组卷：780引用：6难度：0.1

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