2021-2022学年江苏省无锡市宜兴市高二（上）第一次月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

• 1．设直线l：x+2y-1=0的倾斜角为α，则（　　）

  A．0＜α＜ π 4

  B． π 4 ＜α＜ π 2

  C． π 2 ＜α＜ 3 π 4

  D． 3 π 4 ＜α＜π
  组卷：54引用：2难度：0.7

  解析

• 2．在下列命题中：
  ①若向量

  a

  ，

  b

  共线，则向量

  a

  ，

  b

  所在的直线平行；
  ②若向量

  a

  ，

  b

  所在的直线为异面直线，则向量

  a

  ，

  b

  一定不共面；
  ③若三个向量

  a

  ，

  b

  ，

  c

  两两共面，则向量

  a

  ，

  b

  ，

  c

  共面；
  ④已知是空间的三个向量

  a

  ，

  b

  ，

  c

  ，则对于空间的任意一个向量

  p

  总存在实数x,y,z使得

  p

  =

  x

  a

  +

  y

  b

  +

  z

  c

  ；
  其中正确的命题的个数是（　　）

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  组卷：328引用：25难度：0.9

  解析

• 3．如图，已知DE是正△ABC的中位线，沿AD将△ABC折成直二面角B-AD-C，则翻折后异面直线AB与DE所成角的余弦值为（　　）

  A． 3 4

  B． 2 3

  C． 1 2

  D．0
  组卷：280引用：5难度：0.9

  解析

• 4．已知A（1，0，0），B（0，-1，1），O是坐标原点，

  OA

  +

  λ

  OB

  与

  OB

  的夹角为120°，则λ的值为（　　）

  A．± 6 6

  B． 6 6

  C．- 6 6

  D．± 6
  组卷：1832引用：8难度：0.7

  解析

• 5．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC₁与B₁C相交于点O，∠A₁AB=∠A₁AC=∠BAC=60°，A₁A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（　　）

  A． 33 2

  B． 29 2

  C． 5 2

  D． 23 2
  组卷：183引用：10难度：0.5

  解析

• 6．过点（1，3）作直线l,若l过点（a,0）与（0，b），且a,b∈N^*，则可作出的直线l的条数为（　　）

  A．1条

  B．2条

  C．3条

  D．多于3条
  组卷：55引用：3难度：0.9

  解析

• 7．在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P（x₀，y₀，z₀）且法向量为

  m

  =

  （

  a

  ,

  b

  ,

  c

  ）

  的平面方程为a（x-x₀）+b（y-y₀）+c（z-z₀）=0，经过点P（x₀，y₀，z₀）且一个方向向量为

  n

  =

  （

  μ

  ，

  v

  ,

  ω

  ）

  （μvω≠0）的直线l方程为

  x

  -

  x

  0

  μ

  =

  y

  -

  y

  0

  v

  =

  z

  -

  z

  0

  ω

  ．已知：在空间直角坐标系Oxyz中，P（0，0，1），经过点P的平面α的方程为x+y+2z-2=0，经过点P的直线l方程为

  x

  2

  =y=1-z,则直线l与平面α所成角的正弦值为（　　）

  A． 1 6

  B． 1 5

  C． 5 6

  D． 11 14
  组卷：80引用：4难度：0.6

  解析

四、解答题（共6小题，满分70分）

• 21．如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．
  （1）证明：平面BED⊥平面ACD；
  （2）设AB=BD=2，∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．
  组卷：7230引用：14难度：0.5

  解析

• 22．如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.
  （Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；
  （Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：1143引用：17难度：0.1

  解析