2023-2024学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．若i为虚数单位，则复数

  z

  =

  2

  -

  i

  1

  -

  i

  的实部为（　　）

  A． 1 2

  B． 3 2

  C． - 1 2

  D． - 3 2
  组卷：69引用：2难度：0.8

  解析

• 2．直线l：x-y+1=0关于x轴对称的直线方程为（　　）

  A．x+y-1=0

  B．x-y+1=0

  C．x+y+1=0

  D．x-y-1=0
  组卷：355引用：7难度：0.9

  解析

• 3．已知

  |

  a

  |

  =

  3

  ，

  |

  b

  |

  =

  4

  ，且

  a

  与

  b

  的夹角θ=150°，则

  |

  a

  +

  b

  |

  为（　　）

  A． 25 - 10 3

  B． 25 - 11 3

  C． 25 - 12 3

  D． 25 - 13 3
  组卷：83引用：2难度：0.7

  解析

• 4．在三棱锥P-ABC中，AP、AB、AC两两互相垂直，AP=3，AB=1，

  AC

  =

  15

  ，则三棱锥外接球的表面积为（　　）

  A．12π

  B．20π

  C．25π

  D．36π
  组卷：166引用：1难度：0.7

  解析

• 5．数学上规定，圆锥的顶点到该圆锥底面圆周上任意一点的连线叫圆锥的母线；沿圆锥的任意一条母线剪开展开成平面图形即为一个扇形；展开后的扇形的半径就是圆锥的母线，展开后的扇形的弧长就是圆锥底面周长；通过展开，就把求立体图形的侧面积转化为了求平面图形的面积．设圆锥的母线长为l,圆锥的底面半径为r,则展开后的扇形半径为l,弧长为圆锥底面周长2πr,扇形的面积公式为：

  S

  =

  1

  2

  ×

  扇形半径×扇形弧长=

  1

  2

  ×

  l

  ×

  2

  πr

  =

  πrl

  ．故圆锥侧面积公式为S=πrl.已知圆锥的底面直径为

  2

  3

  ，轴截面为正三角形，则该圆锥的侧面积为（　　）

  A．3π

  B．4π

  C．5π

  D．6π
  组卷：37引用：2难度：0.8

  解析

• 6．正三棱锥O-ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则顶点O到底面ABC的距离为（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：28引用：1难度：0.6

  解析

• 7．有一天，数学家笛卡尔在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，突然想到，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，这样就可以用一组数（x,y）表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组有顺序的两个数来表示，这就是我们常用的平面直角坐标系雏形．如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，请利用平面直角坐标系与向量坐标，计算cos∠MPN的值为（　　）

  A． 7 14

  B． 7 7

  C． 7 15

  D． 2 7 15
  组卷：69引用：3难度：0.6

  解析

四、解答题。本大题共6小题，共70分。解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

• 21．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=AB=AD=2，四边形ABCD为平行四边形，

  ∠

  ABC

  =

  π

  3

  ，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点．
  （1）证明：平面AEF⊥平面PAD．
  （2）求平面AEF与平面AED夹角的余弦值．
  组卷：187引用：4难度：0.5

  解析

• 22．已知圆M：（x-1）²+y²=16，点N（-1，0），S是圆M上一动点，若线段SN的垂直平分线与SM交于点Q．
  （1）求点Q的轨迹方程C；
  （2）对于曲线C上一动点P，且P不在x轴上，设△PMN内切圆圆心为E，证明：直线EM与EN的斜率之积为定值．
  组卷：63引用：1难度：0.2

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