2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡中学高三（上）开学数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知集合A={x∈N|

  1

  2

  ＜2^x+1＜16}，B={x|x²-4x+m=0}，若1∈A∩B，则A∪B=（　　）

  A．{1，2，3}

  B．{1，2，3，4}

  C．{0，1，2}

  D．{0，1，2，3}
  组卷：98引用：6难度：0.8

  解析

• 2．已知复数z满足z（1+2i）=|4-3i|（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（　　）

  A．-2

  B．-2i

  C．1

  D．i
  组卷：742引用：18难度：0.8

  解析

• 3．f（x）=

  x

  1

  -

  cosx

  的部分图象大致是（　　）

  A．	B．
  C．	D．
  组卷：84引用：6难度：0.9

  解析

• 4．饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为（　　）
  

  A． 1 16

  B． 1 8

  C． 1 4

  D． 1 2
  组卷：88引用：9难度：0.8

  解析

• 5．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的右焦点F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：（x+3）²+（y-4）²=4上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|PQ|-|PF|的最小值为2

  5

  -6，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则椭圆C的标准方程为（　　）

  A． x 2 2 + y 2 = 1

  B． x 2 4 + y 2 = 1

  C． x 2 4 + y 2 3 = 1

  D． x 2 4 + y 2 2 = 1
  组卷：470引用：4难度：0.5

  解析

• 6．命题p：f（x）=x+alnx（a∈R）在区间[1，2]上单调递增；命题q：存在x∈[2，e]，使得

  x

  -

  1

  lnx

  -e+4+2a≥0成立（e为自然对数的底数），若p且q为假，p或q为真，则实数a的取值范围是（　　）

  A．（-2，- 3 2 ）	B．（-2，- 3 2 ）∪[-1，+∞）
  C．[- 3 2 ，-1）	D．（2，- 3 2 ）∪[1，+∞）
  组卷：39引用：3难度：0.5

  解析

• 7．已知

  A

  （

  2

  ，

  1

  ）

  ，

  B

  （

  2

  3

  ，

  0

  ）

  ，

  C

  ，

  D

  四点均在函数f（x）=log₂

  ax

  x

  +

  b

  的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的面积是（　　）

  A． 26 5

  B． 26 3

  C． 52 5

  D． 52 3
  组卷：96引用：4难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交抛物线C于D，E两点，且|DE|=4．
  （1）求抛物线C的方程；
  （2）设直线l过点A（2，0）且与抛物线C交于P，Q两点，点R在抛物线C上，点N在x轴上，

  NP

  +

  NQ

  +

  NR

  =

  0

  ，直线PR交x轴于点B，且点B在点A的右侧，记△APN的面积为S₁，△RNB的面积为S₂，求

  S

  1

  S

  2

  的最小值．
  组卷：171引用：1难度：0.2

  解析

• 22．已知函数f（x）=e^x+e^-x，其中e是自然对数的底数．
  （1）判断并证明f（x）的奇偶性；
  （2）若关于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
  （3）已知正数a满足：存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＜a（-x₀³+3x₀）成立，试比较e^a-1与a^e-1的大小，并证明你的结论．
  组卷：507引用：6难度：0.1

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