2023-2024学年北京师大附属实验中学高二（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

• 1．如图，E，F分别是长方体ABCD-A'B'C'D'的棱AB，CD的中点，则

  AB

  +

  CF

  等于（　　）

  A． AD ′

  B． AC ′

  C． DE

  D． AE
  组卷：206引用：6难度：0.7

  解析

• 2．直线x+

  3

  y-1=0的倾斜角为（　　）

  A．30°

  B．150°

  C．60°

  D．120°
  组卷：329引用：8难度：0.9

  解析

• 3．抛物线x²=ay的焦点坐标为（0，1），则其准线方程为（　　）

  A．x=-1

  B．x=1

  C．y=-1

  D．y=1
  组卷：236引用：3难度：0.9

  解析

• 4．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a,E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．则

  GF

  •

  AC

  与

  EF

  •

  BC

  分别等于（　　）

  A． - a 2 2 和 a 2 4

  B． a 2 2 和 - a 2 4

  C． a 2 2 和 a 2 4

  D． - a 2 2 和 a 2 2
  组卷：207引用：6难度：0.5

  解析

• 5．设椭圆

  x

  2

  25

  +

  y

  2

  9

  =

  1

  的两个焦点为F₁，F₂，过点F₁的直线交椭圆于A，B两点，如果|AB|=8，那么|AF₂|+|BF₂|的值为（　　）

  A．2

  B．10

  C．12

  D．14
  组卷：478引用：2难度：0.7

  解析

• 6．抛物线y²=4x上的点与其焦点的距离的最小值为（　　）

  A．4

  B．2

  C．1

  D． 1 2
  组卷：204引用：4难度：0.9

  解析

• 7．若双曲线

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞0，b＞0）的焦点F（3，0）到其渐近线的距离为

  5

  ，则双曲线的方程为（　　）

  A． x 2 4 - y 2 5 = 1

  B． x 2 5 - y 2 4 = 1

  C． x 2 3 - y 2 6 = 1

  D． x 2 6 - y 2 3 = 1
  组卷：362引用：3难度：0.7

  解析

• 8．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为棱DD₁的中点，点Q为面ADD₁A₁内一点，B₁Q⊥AP，则（　　）

  A． S △ A 1 D 1 Q = 2 S △ A 1 AQ	B． 2 S △ A 1 D 1 Q = S △ A 1 AQ
  C． 2 S △ A 1 D 1 Q = 3 S △ A 1 AQ	D． 3 S △ A 1 D 1 Q = 2 S △ A 1 AQ
  组卷：158引用：3难度：0.5

  解析

五、解答题（本大题共3小题，共34分）

• 23．已知椭圆Γ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右顶点分别为A₁，A₂，上、下顶点分别为B₂，B₁，

  |

  B

  1

  B

  2

  |

  =

  2

  2

  ，四边形A₁B₁A₂B₂的周长为

  8

  2

  ．
  （1）求椭圆Γ的方程；
  （2）设点F为椭圆Γ的左焦点，点T（-3，m），过点F作TF的垂线交椭圆Γ于点P，Q，连接OT与PQ交于点H．试判断

  |

  PH

  |

  |

  HQ

  |

  是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
  组卷：117引用：3难度：0.6

  解析

• 24．n个有次序的实数a₁，a₂，…，a_n所组成的有序数组（a₁，a₂，…，a_n）称为一个n维向量，其中a_i（i=1，2，…，n）称为该向量的第i个分量．特别地，对一个n维向量

  a

  =

  （

  a

  1

  ，

  a

  2

  ，…，

  a

  n

  ）

  ，若|a_i|=1，i=1，2…n,称

  a

  为n维信号向量．设

  a

  =

  （

  a

  1

  ，

  a

  2

  ，…，

  a

  n

  ）

  ，

  b

  =

  （

  b

  1

  ，

  b

  2

  ，…，

  b

  n

  ）

  ，
  则

  a

  和

  b

  的内积定义为

  a

  •

  b

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  a

  i

  b

  i

  =

  a

  1

  b

  1

  +

  a

  2

  b

  2

  +

  …

  +

  a

  n

  b

  n

  ，且

  a

  ⊥

  b

  ⇔

  a

  •

  b

  =0．
  （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
  （2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
  （3）已知k个两两垂直的2024维信号向量x₁，x₂，…，x_k满足它们的前m个分量都是相同的，求证：

  km

  ＜45．
  组卷：115引用：11难度：0.3

  解析