2021年全国高考数学方向试卷（A卷）

一、选择题：本题共8小题，毎小题5分，共40分．在毎小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知集合A={（x,y）|a²x+y-a=0}，B={（x,y）|x²+y²=1}，则A∩B的元素个数为（　　）

  A．2

  B．1

  C．0

  D．无法确定
  组卷：89引用：2难度：0.6

  解析

• 2．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）创立．指的是设两个复数（用三角函数形式表示）z₁=r₁（cosθ₁+isinθ₁），z₂=r₂（cosθ₂+isinθ₂），则z₁z₂=r₁r₂[cos（θ₁+θ₂）+isin（θ₁+θ₂）]，已知z₁=cos

  7

  π

  13

  +

  icos

  π

  26

  ，z₂=cos

  15

  π

  13

  +isin

  11

  π

  13

  ，则z₁z₂在复平面内所表示的点位于（　　）

  A．第二象限

  B．第一象限

  C．第四象限

  D．第三象限
  组卷：72引用：1难度：0.7

  解析

• 3．（x²+2y）（1+y-x）⁵展开式中x³y⁴的系数是（　　）

  A．10

  B．-5

  C．5

  D．-10
  组卷：142引用：1难度：0.9

  解析

• 4．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steyn studio完成的，建筑师的设计灵感源于圣经的经文“上帝啊，你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下避难”．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的段近似看成双曲线

  y

  2

  a

  2

  -

  x

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）下支的部分，且此双曲线的离心率为

  6

  2

  ，过点（1，-2），则此双曲线的方程为（　　）

  A．y2-2x2=2

  B．2y2-3x2=5

  C．2y2-x2=4

  D．y2-x2=3
  组卷：89引用：2难度：0.7

  解析

• 5．已知定义在R的函数满足f（x）=f（4-x），f（x+2）+f（-x）=4，则下列结论正确的是（　　）

  A．f（x）不是周期函数

  B．f（x）是奇函数

  C．对任意n∈Z，恒有f（4n+1）为定值

  D．对任意n∈N*，有f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n-1）=n
  组卷：227引用：6难度：0.6

  解析

• 6．世界读书日全称为世界图书与版权日，又称“世界图书日”，最初的创意来自于国际出版商协会．1995年正式确定每年4月23日为“世界图书与版权日”，设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权每年的这一天，世界100多个国家都会举办各种各样的庆祝和图书宣传活动．在2021年4月23日这一天，某高校中文系为了解本校学生每天的课外阅读情况，随机选取了200名学生进行调查，其中女生有120人．根据调查结果绘制了如下学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频数分布表．

  分组（时间：分钟）	频数	频率
  [0，10）	50	0.25
  [10，20）	20	0.1
  [20，30）	50	0.25
  [30，40）	60	0.3
  [40，50）	12	0.06
  [50，60]	8	0.04

  将日均课外阅读时间在[30，60]内的学生评价为“课外阅读时间合格”，已知样本中“课外阅读时间合格”的学生中有20男生．那么下列说法正确的是（　　）

  A．该校学生“课外阅读时间”的平均值约为26分钟

  B．按分层抽样的方法，从样本中“课外阅读时间不合格”的学生抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，则这2人恰好是一男一女的概率为 5 9

  C．样本学生“课外阅读时间”的中位数为24分钟

  D．若该校有10000名学生，估计“课外阅读时间合格”的女生有3500人
  组卷：32引用：1难度：0.9

  解析

• 7．如图所示，在凸五边形ABCDE中，有BC=CD=2，DE=1，AB=3，AE=

  5

  2

  ，且AE⊥CE，则（

  DE

  +

  AB

  ）

  •

  AC

  +

  DC

  •

  EA

  =（　　）

  A． 55 16

  B． 53 8

  C． 59 16

  D． 57 8
  组卷：93引用：1难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．在平面直角坐标系xOy中，A（

  -

  3

  ，0），B（

  3

  ，0），C是满足∠ACB=

  π

  3

  的一个动点．
  （1）求△ABC垂心H的轨迹方程；
  （2）记△ABC垂心H的轨迹为Γ，若直线l：y=kx+m（km≠0）与Γ交于D，E两点，与椭圆T：2x²+y²=1交于P，Q两点，且|DE|=2|PQ|，求证：|k|＞

  2

  ．
  组卷：53引用：1难度：0.2

  解析

• 22．已知函数f（x）=sinx-xcosx-ax²sinx,其中x∈[0，π]，a∈R．
  （1）若a=0，证明：f（x）≥0；
  （2）若f（x）单调递增，求a的取值范围；
  （3）当n≥2且n∈N*时，证明：

  n

  ∑

  k

  =

  2

  k

  3

  tan

  3

  k

  ＞n-

  2

  n

  +

  1

  2

  n

  （

  n

  +

  1

  ）

  -

  1

  4

  ．
  组卷：89引用：1难度：0.3

  解析