2022年重庆市中考数学专题试卷（1）

一、例题讲解：

• 1．对于一个三位正整数t,将各数位上的数字重新排序后（包括本身），得到一个新的三位数

  abc

  （a≤c），在所有重新排列的三位数中，当|a+c-2b|最小时，称此时的

  abc

  为t的“最优组合”，并规定F（t）=|a-b|-|b-c|，例如：124重新排序后为：142、214、因为|1+4-4|=1，|1+2-8|=5，|2+4-2|=4，所以124为124的“最优组合”，此时F（124）=-1．
  （1）三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，求证：F（t）=0；
  （2）一个正整数，由N个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，…，一直到前N位数能被N整除，我们称这样的数为“善雅数”．例如：123的第一位数1能被1整除，它的前两位数12能被2整除，前三位数123能被3整除，则123是一个“善雅数”．若三位“善雅数”m=200+10x+y（0≤x≤9，0≤y≤9，x、y为整数），m的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“善雅数”中F（m）的最大值．
  组卷：623引用：3难度：0.3

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• 2．一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数N为“公主数”，例如：132，选择百位数字1和十位数字3组成的两位数为13和31，选择百位数字1和个位数字2组成的两位数为12和21，选择十位数字3和个位数字2组成的两位数为32和23．因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“公主数”．试判断123是不是“公主数”？请说明理由．
  组卷：66引用：1难度：0.6

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• 3．若一个三位整数，百位上数字的2倍加上十位上数字的3倍，再加上个位上数字所得的和能被7整除，则称这个整数为“劳动数”．
  例如：判断210是“劳动数”的过程如下：2×2+3×1+0=7，∵7能被7整除，∴210是“劳动数”；
  判断322是“劳动数”的过程如下：2×3+3×2+2=14，∵14能被7整除，∴322是“劳动数”；
  （1）直接写出最小的“劳动数”为

  ，并请用上面的方法判断448是否为“劳动数”；
  （2）试证明：所有的“劳动数”均能被7整除．
  组卷：319引用：4难度：0.3

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• 4．有一个百位数字为1的三位整数，它能被7整除．将这个三位数的百位数字和个位数字交换所产生的新三位整数仍能够被7整除，求这个三位数．
  组卷：24引用：1难度：0.5

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四、课后作业：

• 13．如果把一个奇数位的自然数各数为上的数字从最高位到个位依次排列，与从个位到最高位依次排列出的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等（不等于0），且该数正中间的数字与其余数字均不同，我们把这样的自然数称为“阶梯数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，且|1-2|=|2-3|=|3-2|=|2-1|=1，因此12321是一个“阶梯数”，又如262，85258，…，都是“阶梯数”，若一个“阶梯数”t从左数到右，奇数位上的数字之和为M，偶数位上的数字之和为N，记P（t）=2N-M，Q（t）=M+N．
  （1）已知一个三位“阶梯数”t,其中P（t）=12，且Q（t）为一个完全平方数，求这个三位数；
  （2）已知一个五位“阶梯数”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求该五位“阶梯数”t的最大值与最小值．
  组卷：601引用：2难度：0.1

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• 14．对于各位数字都不为0的两位数m和三位数n,将m中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，将n中的任意一个数字作为该新数的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为F（m,n），例如：F（12，345）=13+14+15+23+24+25=114
  （1）F（24，579）=

  ，并求证：当n能被3整除时，F（m,n）一定能被6整除；
  （2）若一个两位数s=21x+y,一个三位数t=12x+y+198（其其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均为整数）．交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′，当t′与s的个位数字的3倍的和被7除余1时，称这样的两个数s和t为“幸运数对”，求所有“幸运数对”中F（s,t）的最大值．
  组卷：90引用：1难度：0.4

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