2022年山西省强基计划模拟试卷（一）

一、选择题：（每小题6分，共36分）

• 1．已知定义在R上的函数f（x）满足如下条件：①函数f（x）的图象关于y轴对称；②对于任意x∈R，f（x）=f（2-x）；③当x∈[0，1]时，

  f

  （

  x

  ）

  =

  3

  2

  x

  ；④g（x）=f（4x）．若过点（-1，0）的直线l与函数g（x）的图象在x∈[0，2]上恰有8个交点，则直线l斜率k的取值范围是（　　）

  A． （ 0 ， 6 11 ）

  B． （ 0 ， 3 5 ）

  C．（0，1）

  D． （ 0 ， 33 8 ）
  组卷：123引用：2难度：0.4

  解析

• 2．如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l₁，l₂之间，l₁∥l₂，l与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于点E、D，设弧FG的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l₁平行移动到l₂，则函数y=f（x）的图像大致是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：86引用：3难度：0.5

  解析

• 3．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形ABCD边长为a₁，后续各正方形边长依次为a₂，a₃，…，a_n，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为b₁，后续各直角三角形面积依次为b₂，b₃，…，b_n，…．下列说法错误的是（　　）

  A．从正方形ABCD开始，连续3个正方形的面积之和为 129 4

  B． a n = 4 × （ 10 4 ） n - 1

  C．使得不等式bn＞ 1 2 成立的n的最大值为4

  D．数列{bn}的前n项和Sn＜4
  组卷：133引用：3难度：0.5

  解析

• 4．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB₁，A₁C₁的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（　　）

  A．2+2 5

  B． 2 5 + 2 3 13

  C． 2 5 + 13

  D． 2 5 + 13 2
  组卷：2686引用：3难度：0.1

  解析

• 5．已知数列{a_n}满足a₁=0，且对任意n∈N*，a_n+1等概率地取a_n+1或a_n-1，设a_n的值为随机变量ξ_n，则（　　）

  A．P（ξ3=2）= 1 2	B．E（ξ3）=1
  C．P（ξ5=0）＜P（ξ5=2）	D．P（ξ5=0）＜P（ξ3=0）
  组卷：257引用：2难度：0.4

  解析

二、（50分）

• 15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交于点K．求证：
  （1）AK⊥BC；
  （2）

  AK

  ＜

  AP

  =

  AQ

  ＜

  2

  S

  △

  ABC

  BC

  ，其中S_△ABC表示△ABC的面积．
  组卷：64引用：1难度：0.2

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三、（50分）

• 16．给定一个正整数n,设n个实数a₁，a₂，…，a_n满足下列n个方程：

  n

  ∑

  i

  =

  1

  a

  i

  i

  +

  j

  =

  4

  2

  j

  +

  1

  （

  j

  =

  1

  ，

  2

  ，

  3

  ，

  ⋯

  ，

  n

  ）

  ．确定和式

  S

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  a

  i

  2

  i

  +

  1

  的值（写成关于n的最简式子）．
  组卷：23引用：1难度：0.2

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