2023-2024学年北京市东城区东直门中学高三（上）期中数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

• 1．已知全集U={x|x＞0}，集合A={x|x（x-1）＜0}，则∁_UA=（　　）

  A．{x|x＞1，或x＜0}

  B．{x|x≥1，或x≤0}

  C．{x|x＞1}

  D．{x|x≥1}
  组卷：151引用：5难度：0.8

  解析

• 2．若复数z₁，z₂在复平面内对应点的坐标分别为（2，1），（0，-1），则z₁•z₂=（　　）

  A．2+i

  B．1-2i

  C．-1-2i

  D．-i
  组卷：157引用：4难度：0.9

  解析

• 3．已知函数f（x）=3sin2x,将函数f（x）的图象沿x轴向右平移

  π

  8

  个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（　　）

  A． g （ x ） = 3 sin （ 2 x - π 8 ）	B． g （ x ） = 3 sin （ 2 x - π 4 ）
  C． g （ x ） = 3 sin （ 2 x + π 8 ）	D． g （ x ） = 3 sin （ 2 x + π 4 ）
  组卷：229引用：4难度：0.8

  解析

• 4．已知向量

  a

  与向量

  b

  的夹角为120°，

  |

  a

  |

  =

  |

  b

  |

  =

  1

  ，则

  |

  a

  +

  2

  b

  |

  =（　　）

  A．3

  B． 3

  C． 2 - 3

  D．1
  组卷：208引用：4难度：0.7

  解析

• 5．已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是（　　）

  A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n	B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β
  C．若l⊥n,m⊥n则l∥m	D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
  组卷：656引用：17难度：0.8

  解析

• 6．已知直线l₁：mx+（m+1）y+2=0，l₂：（m+1）x+（m+4）y-3=0，则“m=-2”是“l₁⊥l₂”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：142引用：8难度：0.7

  解析

• 7．已知直线

  x

  -

  3

  y

  +

  8

  =

  0

  和圆x²+y²=r²（r＞0）相交于A，B两点．若|AB|=6，则r的值为（　　）

  A．3

  B． 3

  C．5

  D． 5
  组卷：484引用：9难度：0.8

  解析

三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

• 20．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）的离心率为

  3

  2

  ，长轴的右端点为A（2，0）．
  （Ⅰ）求C的方程；
  （Ⅱ）直线l：y=kx+m与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM⊥AN，点A不在直线l上，
  （ⅰ）试证明直线l过一定点，并求出此定点；
  （ⅱ）从点A作AD⊥MN垂足为D，点

  B

  （

  8

  5

  ，

  2

  ）

  ，写出|BD|的最小值（结论不要求证明）．
  组卷：283引用：2难度：0.5

  解析

• 21．已知无穷数列{a_n}满足a_n=max{a_n+1，a_n+2}-min{a_n+1，a_n+2}（n=1，2，3，⋯），其中max{x,y}表示x,y中最大的数，min{x,y}表示x,y中最小的数．
  （1）当a₁=1，a₂=2时，写出a₄的所有可能值；
  （2）若数列{a_n}中的项存在最大值，证明：0为数列{a_n}中的项；
  （3）若a_n＞0（n=1，2，3，⋯），是否存在正实数M，使得对任意的正整数n,都有a_n≤M？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由．
  组卷：447引用：12难度：0.3

  解析