2022-2023学年河北省示范性高中高三（上）第一次调研数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．设集合

  A

  =

  {

  x

  ∈

  Z

  |

  y

  =

  4

  -

  x

  2

  }

  ，

  B

  =

  {

  x

  |

  -

  2

  ＜

  x

  ＜

  4

  }

  ，则集合A∩B=（　　）

  A．{-2，-1，0，1，2}	B．{-2，-1，1，2}
  C．{-1，0，1，2}	D．{0，1，2}
  组卷：79引用：4难度：0.8

  解析

• 2．若复数

  a

  +

  bi

  4

  +

  3

  i

  （i为虚数单位，a,b∈R且b≠0）为纯虚数，则

  a

  b

  =（　　）

  A． 4 3

  B． - 4 3

  C． 3 4

  D． - 3 4
  组卷：432引用：12难度：0.9

  解析

• 3．“λ=3”是“直线（2λ-3）x+（λ+1）y+3=0与直线（λ+1）x-λy+3=0互相垂直”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．充要条件
  C．必要不充分条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：338引用：9难度：0.8

  解析

• 4．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=2，且S₃=S₁₉，则S₂₁=（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：398引用：6难度：0.8

  解析

• 5．关于二项式（1+ax+x²）（1-x）⁸，若展开式中含x²的项的系数为21，则a=（　　）

  A．3

  B．2

  C．1

  D．-1
  组卷：430引用：5难度：0.7

  解析

• 6．已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为S，体积为V，则当

  V

  S

  取得最大值时，母线与底面所成角的正弦值为（　　）

  A． 2 2

  B． 3 2

  C． 1 2

  D． 3 4
  组卷：338引用：7难度：0.6

  解析

• 7．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的右焦点为F（3，0），过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦AB中点坐标为（2，-1），则椭圆的面积为（　　）

  A． 36 2 π

  B． 18 2 π

  C． 9 2 π

  D． 6 2 π
  组卷：730引用：17难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知圆A：x²+y²+6x+5=0，直线l（与x轴不重合）过点B（3，0）交圆A于C、D两点，过点B作直线AC的平行线交直线DA于点E．
  （1）证明：||EB|-|EA||为定值，并求点E的轨迹方程；
  （2）设点E的轨迹方程为C₁，直线l与曲线C₁交于M、N两点，线段MN的垂直平分线交x轴于点P，是否存在实常数λ，使得|MN|=λ|PB|，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：92引用：3难度：0.2

  解析

• 22．已知函数f（x）=e^x-1-x-ax²．
  （1）若x＞0时，恒有f（x）＞0，求a的取值范围；
  （2）证明：当x＞1时，e^x（1+lnx）＞ex²．
  组卷：373引用：4难度：0.6

  解析