2021-2022学年江苏省无锡市天一中学强化班高二（下）期中数学试卷

一、选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知集合A={x|-2＜x＜1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=（　　）

  A．{x|0≤x＜1}

  B．{x|-2＜x≤2}

  C．{x|1＜x≤2}

  D．{x|0＜x＜1}
  组卷：226引用：3难度：0.9

  解析

• 2．已知某圆柱底面的半径为1，高为2，则该圆柱的表面积为（　　）

  A．2π

  B．4π

  C．6π

  D．8π
  组卷：558引用：14难度：0.9

  解析

• 3．棣莫弗公式（cosx+isinx）ⁿ=cosnx+isinnx（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数

  （

  cos

  π

  6

  +

  isin

  π

  6

  ）

  2023

  在复平面内所对应的点位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：65引用：2难度：0.8

  解析

• 4．在矩形ABCD中，AB=6，AD=3．若点M是CD的中点，点N是BC的三等分点，且

  BN

  =

  1

  3

  BC

  ，则

  AM

  •

  MN

  =（　　）

  A．4

  B．3

  C．2

  D．1
  组卷：82引用：2难度：0.8

  解析

• 5．在（1+x）⁷（1+y）³的展开式中，记x^myⁿ项的系数为f（m,n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（　　）

  A．45

  B．60

  C．120

  D．210
  组卷：64引用：3难度：0.6

  解析

• 6．若圆周率π的近似值可以表示成4cos38°，则

  π

  16

  -

  π

  2

  1

  -

  2

  sin

  2

  7

  °

  的近似值为（　　）

  A． 1 8

  B． - 1 8

  C．8

  D．-8
  组卷：173引用：2难度：0.8

  解析

• 7．已知F₁，F₂为椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的公共点，且∠F₁PF₂=

  π

  3

  ，e₁，e₂分别为椭圆和双曲线的离心率，则

  4

  e

  1

  e

  2

  3

  e

  1

  2

  +

  e

  2

  2

  的值为（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：204引用：2难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
  （1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
  （2）为验证抽球试验成功的概率不超过

  1

  2

  ，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下：
  

  t	1	2	3	4	5
  y	232	98	60	40	20

  求y关于t的回归方程

  ̂

  y

  =

  ̂

  b

  t

  +

  ̂

  a

  ，并预测成功的总人数（精确到1）；
  （3）证明：

  1

  2

  2

  +

  （

  1

  -

  1

  2

  2

  ）

  1

  3

  2

  +

  （

  1

  -

  1

  2

  2

  ）

  （

  1

  -

  1

  3

  2

  ）

  1

  4

  2

  +

  ⋯

  +

  （

  1

  -

  1

  2

  2

  ）

  （

  1

  -

  1

  3

  2

  ）

  ⋯

  （

  1

  -

  1

  n

  2

  ）

  1

  （

  n

  +

  1

  ）

  2

  ＜

  1

  2

  ．
  附：经验回归方程系数：

  ̂

  b

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  x

  i

  y

  i

  -

  n

  x

  •

  y

  n

  ∑

  i

  =

  1

  x

  2

  i

  -

  n

  x

  2

  ，

  ̂

  a

  =

  y

  -

  ̂

  b

  x

  
  参考数据：

  5

  ∑

  i

  =

  1

  x

  2

  i

  =

  1

  .

  46

  ，

  x

  =

  0

  .

  46

  ，

  x

  2

  =

  0

  .

  212

  （其中

  x

  i

  =

  1

  t

  i

  ，

  x

  =

  1

  5

  5

  ∑

  i

  =

  1

  x

  i

  ）．
  组卷：527引用：8难度：0.4

  解析

• 22．已知f（x）=e^x-x²sinx-1．
  （1）证明：当x＞0时，f（x）＞0；
  （2）求f（x）在[-2π，0]上的零点个数．
  组卷：89引用：2难度：0.4

  解析