2023-2024学年福建省莆田市擢英中学高二（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

• 1．如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是B₁C₁的中点，设

  AB

  =

  a

  ，

  AD

  =

  b

  ，

  A

  A

  1

  =

  c

  ，则

  AM

  =（　　）

  A． 1 2 a + b + c

  B． a + 1 2 b + c

  C． a + b + 1 2 c

  D． a + 1 2 b + 1 2 c
  组卷：74引用：2难度：0.7

  解析

• 2．已知直线l₁：mx+2y-2=0与直线l₂：5x+（m+3）y-5=0，若l₁∥l₂，则m=（　　）

  A．-5

  B．2

  C．2或-5

  D．5
  组卷：369引用：24难度：0.7

  解析

• 3．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=A₁A=2，M、N分别是BB₁和B₁C₁的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（　　）

  A． 5 2

  B． 5

  C． 2 5

  D． 3 5
  组卷：129引用：4难度：0.6

  解析

• 4．设直线l₁：x+3y-7=0与直线l₂：x-y+1=0的交点为P，则P到直线l：x+ay+2-a=0的距离最大值为（　　）

  A． 10

  B．4

  C． 3 2

  D． 11
  组卷：914引用：12难度：0.7

  解析

• 5．圆O₁：x²+y²=4和圆O₂：x²+y²+2x-4y=0的交点为A，B，则有（　　）

  A．公共弦AB所在直线方程为x-2y+1=0

  B．公共弦AB的长为 4 5 5

  C．线段AB中垂线方程为2x-y=0

  D． ∠ A O 2 B ＞ π 2
  组卷：146引用：3难度：0.6

  解析

• 6．已知椭圆E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为（1，-1），则E的方程为（　　）

  A． x 2 18 + y 2 9 = 1	B． x 2 27 + y 2 18 = 1
  C． x 2 36 + y 2 27 = 1	D． x 2 45 + y 2 36 = 1
  组卷：1045引用：30难度：0.7

  解析

• 7．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC中点，点P在线段A₁C₁上，若直线OP与平面A₁BC₁所成的角为θ，则sinθ的取值范围是（　　）

  A． [ 2 3 ， 3 3 ]

  B． [ 1 3 ， 1 2 ]

  C． [ 3 4 ， 3 3 ]

  D． [ 1 4 ， 1 3 ]
  组卷：733引用：14难度：0.5

  解析

四、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．如图所示，四边形ABCD是圆台EF的轴截面，M是上底面圆周上异于C，D的一点，圆台的高

  EF

  =

  3

  ，AB=2CD=4．
  （1）证明：△AMB是直角三角形；
  （2）是否存在点M使得平面ADM与平面DME的夹角的余弦值为

  5

  5

  ？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．
  ​
  组卷：60引用：4难度：0.4

  解析

• 22．设点O为坐标原点，P是圆A：（x+2）²+y²=4上任意一点，点B（2，0），线段BP的垂直平分线与直线AP交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C．
  （1）求C的方程；
  （2）设直线l与曲线C（在y轴右侧）恰有一个公共点，且l与直线

  y

  =±

  3

  x

  分别交于M，N两点，求△BMN面积S的最小值．
  组卷：68引用：3难度：0.5

  解析