2021-2022学年湖南省衡阳市部分学校高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知集合A={x|x＜4}，B={x|x≤m}，且A⫋B，则m的取值范围是（　　）

  A．[4，+∞）

  B．（4，+∞）

  C．（-∞，4）

  D．（-∞，4]
  组卷：818引用：2难度：0.9

  解析

• 2．若复数z满足z（1-i）=4i,则z在复平面内对应的点位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：97引用：7难度：0.7

  解析

• 3．某高中学校积极响应国家“阳光体育运动”的号召，为确保学生每天平均一小时的体育锻炼，调查了该校学生每周平均体育锻炼时间的情况，随机收集了300名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）的样本数据，将其分为[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]六组，整理后得到如图所示的频率分布直方图，则估计该校高中学生每周平均体育锻炼时间的平均数为（　　）

  A．5.5小时

  B．4.8小时

  C．5小时

  D．5.8小时
  组卷：73引用：5难度：0.8

  解析

• 4．函数f（x）=（e^x-e^-x）x²的图象大致为（　　）

  A．	B．
  C．	D．
  组卷：131引用：4难度：0.8

  解析

• 5．设m,n,l是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则“l⊥α”的一个充分不必要条件是（　　）

  A．l垂直于α内无数条直线

  B．α⊥β，α∩β=m,l⊥m

  C．α∥β，m⊂α，n⊂β，m⊥n,l⊥m,l⊥n

  D．α⊥β，l∥β
  组卷：30引用：3难度：0.6

  解析

• 6．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的蒙日圆方程为x²+y²=a²+b²，F₁，F₂分别为椭圆C的左、右焦点．离心率为

  5

  5

  ，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若△MPQ面积的最大值为36，则椭圆C的长轴长为（　　）

  A． 2 5

  B． 4 5

  C． 2 3

  D． 4 3
  组卷：215引用：4难度：0.6

  解析

• 7．已知直线l是平面θ的斜线，且与平面θ交于点M，l在平面θ上的射影为m,在平面θ内过点M作一条直线n,直线n和直线m不重合，直线l与平面θ所成的角为α，直线m与直线n所成的角为β，直线l与直线n所成的角为γ，则（　　）

  A．cosα=cosβ•cos γ	B．cosβ=cosα•cosγ
  C．cos γ=cosα•cos β	D．以上说法都不对
  组卷：24引用：3难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的右焦点为F，左顶点为A，且

  |

  FA

  |

  =

  2

  +

  5

  ，F到C的渐近线的距离为1，过点B（4，0）的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点．
  （1）求双曲线C的标准方程；
  （2）若直线MB，NB的斜率分别为k₁，k₂，判断k₁k₂是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
  组卷：221引用：10难度：0.6

  解析

• 22．已知函数f（x）=（x+1）lnx-ax.
  （1）若关于x的不等式f（x）≤axe^ax恒成立，求a的取值范围；
  （2）若x₁，x₂是f（x）的两个极值点，且x₁＜x₂，证明：f（x₁）+f（x₂）+x₁+x₂+2＞0．
  组卷：73引用：3难度：0.3

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