2022年江苏省南京第五高级中学高考数学一模试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知复数z满足（1+i）z=（1-i）²，则z的实部为（　　）

  A．1

  B．-1

  C．2

  D．-2
  组卷：164引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知集合A={x∈N|x²-2x-3≤0}，b={x|y=log₂（3-x）}，则A∪B=（　　）

  A．（-∞，3]

  B．{0，1，2，3}

  C．{0，1，2}

  D．R
  组卷：150引用：8难度：0.8

  解析

• 3．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  -

  2

  x

  -

  lnx

  的图象大致为（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：256引用：4难度：0.8

  解析

• 4．假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则下列说法正确的是（　　）

  A．事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是互斥事件

  B．事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家庭3个孩子都是女孩”是对立事件

  C．该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为 1 8

  D．当已知该家庭3个小孩中有男孩的条件下，3个小孩中至少有2个男孩的概率为 4 7
  组卷：646引用：3难度：0.7

  解析

• 5．区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域．在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则
  密码一共有2⁵¹²种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行2⁵¹²次运算．现在有一台计算机，每秒能进行1.25×10¹³次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（　　）
  （参考数据：lg2≈0.3，

  10

  ≈

  3

  .

  16

  ）

  A．6.32×10141s	B．6.32×10140s
  C．3.16×10141s	D．3.16×10140s
  组卷：294引用：11难度：0.5

  解析

• 6．已知sin（

  π

  4

  -α）=

  3

  5

  ，则

  sinα

  1

  -

  tanα

  的值为（　　）

  A．- 7 2 60

  B． 7 2 60

  C．- 7 2 30

  D． 7 2 30
  组卷：406引用：8难度：0.7

  解析

• 7．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点分别为F₁，F₂，点A在椭圆上且位于第二象限，满足

  A

  F

  1

  •

  A

  F

  2

  =

  0

  ，∠AF₁F₂的平分线与AF₂相交于点B，若

  AB

  =

  3

  8

  A

  F

  2

  ，则椭圆的离心率为（　　）

  A． 2 7

  B． 3 7

  C． 4 7

  D． 5 7
  组卷：1041引用：3难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．图1是由矩形ACC₁A₁、等边△ABC和平行四边形ABB₁A₂组成的一个平面图形，其中AB=2，AA₁=AA₂=1，N为A₁C₁的中点．将其沿AC，AB折起使得AA₁与AA₂重合，连结B₁C₁，BN，如图2．
  
  （1）证明：在图2中，AC⊥BN，且B，C，C₁，B₁四点共面；
  （2）在图2中，若二面角A₁-AC-B的大小为θ，且

  tanθ

  =

  -

  1

  2

  ，求直线AB与平面BCC₁B₁所成角的正弦值．
  组卷：462引用：4难度：0.5

  解析

• 22．已知函数f（x）=

  2

  3

  x³-mx²+m²x（m∈R）的导函数为f′（x）．
  （1）若函数g（x）=f（x）-f′（x）存在极值，求m的取值范围；
  （2）设函数h（x）=f′（e^x）+f′（lnx）（其中e为自然对数的底数），对任意m∈R，若关于x的不等式h（x）≥m²+k²在（0，+∞）上恒成立，求正整数k的取值集合．
  组卷：437引用：3难度：0.1

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