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2022-2023学年上海交大附中高一（下）期中数学试卷

发布：2024/4/20 14:35:0

一、填空题（本题36分，共12小题，每小题3分）

1．函数f（x）=log₂x的定义域

．
组卷：14引用：2难度：0.7
解析
2．函数y=2sin3x+4的最小正周期是
．
组卷：29引用：1难度：0.8
解析
3．已知集合A={1}，B={x|x²+2x+a=0，x∈R}，且A⊂B，则实数a的值是
．
组卷：142引用：3难度：0.7
解析
4．扇形OAB所在圆的半径长为1，
ˆ
AB
所对的圆心角∠AOB大小为
π
3
，则扇形OAB的面积为
．
组卷：15引用：1难度：0.9
解析
5．指数函数y=（a-1）^x在区间[0，2]上的最大值为4，则实数a的值是
．
组卷：333引用：1难度：0.7
解析
6．函数
y
=
sin
（
x
+
π
2
）
的单调减区间是
．
组卷：181引用：3难度：0.8
解析
7．已知y=f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=1-2x,则当x＜0时，y=f（x）的表达式为
．
组卷：132引用：1难度：0.8
解析

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三、解答题

20．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系：

假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．
（1）请运用函数模型
y
=
A
sin
（
ωx
+
φ
）
+
h
（
A
＞
0
，
ω
＞
0
，-
π
2
＜
φ
＜
π
2
，
h
∈
R
）
，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式；
（2）根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货．
①求该船可以进港的时间段；
②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．
组卷：83引用：7难度：0.5
解析
21．已知函数y=F（x）与y=f（x）的定义域为R，若对任意区间[u,v]⊆R，存在p∈[u,v]且q∈[u,v]，使
f
（
p
）
≤
F
（
u
）
-
F
（
v
）
u
-
v
≤
f
（
q
）
，则y=f（x）是y=F（x）的生成函数．
（1）求证：f（x）=2x是F（x）=x²-3的生成函数；
（2）若f（x）=x²+2是y=F（x）的生成函数，判断并证明y=F（x）的单调性；
（3）若y=f（x）是y=F（x）的生成函数，实数a≠0，求y=F（αx+b）的一个生成函数．
组卷：33引用：3难度：0.6
解析