2022-2023学年上海市奉贤中学高一（下）期中数学试卷

一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题4分，共54分）

• 1．已知扇形的半径为10，圆心角为2rad,则扇形的弧长为

  ．
  组卷：50引用：3难度：0.8

  解析

• 2．已知向量

  a

  ，

  b

  方向相反，且

  |

  a

  |

  =

  4

  ，

  |

  b

  |

  =

  5

  ，则

  a

  在

  b

  方向上的数量投影为

  ．
  组卷：200引用：2难度：0.7

  解析

• 3．在平面直角坐标系xOy中，若角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的圆交于点

  P

  （

  1

  ，

  3

  ）

  ，则

  cos

  （

  π

  2

  -

  θ

  ）

  =

  ．
  组卷：31引用：4难度：0.7

  解析

• 4．函数

  y

  =

  2

  sin

  （

  x

  -

  π

  4

  ）

  ，x∈[0，π]的增区间为

  ．
  组卷：95引用：2难度：0.7

  解析

• 5．函数y=sinx-cosx的最小正周期是

  ．
  组卷：38引用：2难度：0.9

  解析

• 6．已知向量

  a

  =（2，-6），

  b

  =（3，m），若|

  a

  +

  b

  |=|

  a

  -

  b

  |，则m=

  ．
  组卷：520引用：9难度：0.7

  解析

• 7．函数

  y

  =

  sin

  （

  2

  x

  +

  π

  3

  ）

  在

  x

  ∈

  [

  0

  ，

  π

  3

  ]

  上的值域为

  ．
  组卷：492引用：4难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题有5小题，共78分，14+14+14+18+18）

• 20．如图所示是某斜拉式大桥图片，为了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图（1）所示的模型，其中桥塔AB、CD与桥面AC垂直，通过测量得知AB=50m,AC=50m,当P为AC中点时，∠BPD=45°．
  
  （1）求CD的长；
  （2）设AP=x,写出tan∠BPD与x的函数关系式；
  （3）已知命题：函数y=tanx在

  x

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  内为严格增函数；求证该命题为真命题，并用该命题求解P在线段AC的何处时，∠BPD达到最大，最大值为多少？
  组卷：46引用：3难度：0.4

  解析

• 21．已知函数y=f（x），若存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x,均有m•f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，则称函数f（x）为“可平衡”函数；有序数对（m,k）称为函数f（x）的“平衡”数对．
  （1）若f（x）=x²，求函数f（x）的“平衡”数对；
  （2）若m=1，判断f（x）=sinx是否为“可平衡”函数，并说明理由；
  （3）若m₁、m₂∈R，且

  （

  m

  1

  ，

  π

  2

  ）

  、

  （

  m

  2

  ，

  π

  4

  ）

  均为函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  co

  s

  2

  x

  （

  0

  ＜

  x

  ≤

  π

  4

  ）

  的“平衡”数对，求

  m

  2

  1

  +

  m

  2

  2

  的取值范围．
  组卷：46引用：14难度：0.6

  解析