2023年湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、师大附中高考数学模拟试卷（5月份）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．若集合A={x∈Z|3x-x²＞0}，则满足A∪B={1，2，3，4}的集合B的个数为（　　）

  A．2

  B．3

  C．4

  D．16
  组卷：174引用：4难度：0.8

  解析

• 2．若（1+i）（1-z）=1（i为虚数单位），则复数z的模为（　　）

  A．1

  B． 2

  C． 2 2

  D．2
  组卷：188引用：6难度：0.8

  解析

• 3．若向量

  a

  ，

  b

  满足

  a

  =

  （

  -

  4

  ，

  3

  ）

  ，

  b

  =

  （

  5

  ，

  12

  ）

  ，则向量

  b

  在向量

  a

  上的投影向量为（　　）

  A． （ - 64 65 ， 48 65 ）	B． （ - 64 25 ， 48 25 ）
  C． （ 64 25 ，- 48 25 ）	D． （ 64 65 ，- 48 65 ）
  组卷：280引用：8难度：0.7

  解析

• 4．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性¹⁴C．动植物死亡后，停止了新陈代谢，¹⁴C不再产生，且原来的¹⁴C会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中¹⁴C含量占原来的

  1

  5

  ，推算该古物约是m年前的遗物（参考数据：（lg2）^-1≈3.3219），则实数m的值为（　　）

  A．12302

  B．13304

  C．23004

  D．24034
  组卷：351引用：7难度：0.7

  解析

• 5．若数列{a_n}中，

  a

  1

  =

  3

  5

  ，

  a

  2

  =

  1

  4

  ，且

  a

  n

  a

  n

  +

  2

  =

  a

  n

  +

  1

  （

  n

  ∈

  N

  *

  ）

  ，记数列{a_n}的前n项积为π_n，则

  Π

  2023

  a

  2022

  的值为（　　）

  A．1

  B． 3 5

  C． 1 2

  D． 1 4
  组卷：79引用：3难度：0.8

  解析

• 6．已知抛物线C：y²=4x,焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线（a-1）x+y-2a+1=0的垂线，垂足为P，则|MF|+|MP|的最小值为（　　）

  A． 5 - 2 2

  B． 3 - 2 2

  C．5

  D．3
  组卷：395引用：8难度：0.5

  解析

• 7．若当

  x

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  时，关于x的不等式e^x-xcosx+cosxlncosx+ax²≥1恒成立，则满足条件的a的最小整数为（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：111引用：4难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知双曲线

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=4，

  P

  （

  3

  ，

  2

  ）

  是C上一点．
  （1）求C的方程；
  （2）不垂直于坐标轴的直线l交C于M，N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若|AM|•|AN|=2|AD|，证明：直线l过四个定点（-3，0），（-1，0），（1，0），（3，0）中的一个．
  组卷：170引用：3难度：0.3

  解析

• 22．已知函数f（x）=e^-ax+sinx-cosx.
  （1）若a=-1，

  x

  ≥

  -

  π

  4

  ，求证：

  F

  （

  x

  ）

  =

  f

  ′

  （

  x

  ）

  -

  1

  3

  x

  -

  1

  有且仅有一个零点；
  （2）若对任意x≤0，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
  组卷：115引用：3难度：0.5

  解析