2021年福建省莆田二中高考数学诊断试卷（六）（5月份）

一、单选题（共8道小题，每小题5分，共40分。每题只有一个正确选项）

• 1．已知函数f（x）=2sin（2x+φ），则“φ=

  π

  2

  ”是“f（x）为偶函数”的（　　）

  A．充分非必要条件	B．必要非充分条件
  C．充要条件	D．既非充分也非必要条件
  组卷：177引用：3难度：0.8

  解析

• 2．已知a=log₂6，b=log₃9，c=3^0.1，则a、b、c的大小关系是（　　）

  A．c＜b＜a

  B．a＜b＜c

  C．b＜c＜a

  D．c＜a＜b
  组卷：220引用：1难度：0.8

  解析

• 3．某实验室开发一种新的抗病毒试剂，试剂在血液中的浓度（单位：mol/L）与时间（单位：h）的关系为

  y

  =

  e t - 1 ， 0 ≤ t ≤ 1

  （ 1 2 ） t - 3 ， t ＞ 1

  ，如果试剂浓度不低于0.25mol/L，则认为还有药效，则该试剂的药效持续时间约为（　　）（ln5≈1.6，ln2≈0.7）

  A．3.6h

  B．4.1h

  C．4.8h

  D．5h
  组卷：97引用：1难度：0.7

  解析

• 4．如图，已知P（x₀，y₀），Q是双曲线

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  上关于原点对称的两点，点M（x,y）为双曲线C上异于P，Q且不与P，Q关于坐标轴对称的任意一点，若直线PM，QM的斜率之积为

  3

  4

  ，且双曲线C的焦点到渐近线的距离为

  3

  ，则双曲线C的离心率为（　　）

  A．2

  B． 3 2

  C． 7

  D． 7 2
  组卷：225引用：1难度：0.7

  解析

• 5．函数f（x）=

  （

  1

  2

  ）

  sin

  （

  x

  +

  π

  4

  ）

  -

  （

  1

  2

  ）

  cos

  （

  x

  +

  π

  4

  ）

  的图象可能是（　　）

  A．	B．
  C．	D．
  组卷：72引用：2难度：0.6

  解析

• 6．已知复数z_n=1+i+i²+⋯+iⁿ（i为虚数单位，n∈N^*），若M={z|z=z_s•z_t（s,t=1，2，⋯，n）}，从M中任取一个元素，其模为1的概率为（　　）

  A． 2 7

  B． 3 7

  C． 1 7

  D． 1 n
  组卷：52引用：3难度：0.8

  解析

• 7．已知集合A={（x,y）|x=n,y=na+b,n∈Z}，B={（x,y）|x=m,y=3m²+12，m∈Z}．若存在实数a,b使得A∩B≠∅成立，称点（a,b）为“ɛ”点，则“ɛ”点在平面区域C={（x,y）|x²+y²≤108}内的个数是（　　）

  A．0

  B．1

  C．2

  D．无数个
  组卷：1016引用：9难度：0.5

  解析

五、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．已知椭圆

  E

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  ，点M（0，1）在椭圆E上，过点N（2，0）作斜率为

  2

  2

  的直线恰好与椭圆E有且仅有一个公共点．
  （Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
  （Ⅱ）设点P为椭圆E的长轴上的一个动点，过点P作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于不同的两点A，B，是否存在常数k,使

  |

  PA

  |

  2

  ，

  a

  2

  +

  1

  2

  ，

  |

  PB

  |

  2

  成等差数列？若存在，求出k的值：若不存在，请说明理由．
  组卷：102引用：2难度：0.3

  解析

• 22．已知f（x）=e^x-alnx-a,（其中常数a＞0）．
  （1）当a=e时，求函数f（x）的极值；
  （2）若函数y=f（x）有两个零点x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），求证：

  1

  a

  ＜

  x

  1

  ＜

  1

  ＜

  x

  2

  ＜

  a

  ．
  组卷：146引用：2难度：0.4

  解析