2023-2024学年北京八中高三（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

• 1．已知集合A={x∈N|x≤5}，集合B={x|x（x-2）＞0}，则A∩B=（　　）

  A．{2，3，4}

  B．{3，4，5}

  C．[2，5）

  D．（2，5]
  组卷：416引用：9难度：0.8

  解析

• 2．复数z=

  2

  -

  i

  1

  +

  2

  i

  的虚部为（　　）

  A．1

  B．-1

  C．i

  D．-i
  组卷：16引用：3难度：0.9

  解析

• 3．下列函数中最小值为4的是（　　）

  A．y=x2+2x+4	B．y=|sinx|+ 4 | sinx |
  C．y=2x+22-x	D．y=lnx+ 4 lnx
  组卷：4876引用：33难度：0.6

  解析

• 4．在空间中，若a,b,c是三条直线，α，β是两个平面，下列判断正确的是（　　）

  A．若a的方向向量与α的法向量垂直，则a∥α

  B．若a∥α，β⊥α，则a⊥β

  C．若α⊥β，α∩β=c,a⊥c,则a⊥α

  D．若α，β相交但不垂直，c⊂α，则在β内一定存在直线l,满足l⊥c
  组卷：45引用：1难度：0.7

  解析

• 5．“x＞0”是“x+sinx＞0”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：142引用：8难度：0.9

  解析

• 6．已知向量

  a

  ，

  b

  满足

  |

  a

  |

  =

  5

  ，

  |

  b

  |

  =

  6

  ，

  a

  •

  b

  =

  -

  6

  ，则

  cos

  〈

  a

  ，

  a

  +

  b

  〉

  =（　　）

  A． - 31 35

  B． - 19 35

  C． 17 35

  D． 19 35
  组卷：272引用：14难度：0.7

  解析

• 7．如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=a^x（a＞0，且a≠1）及log_bx（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a,b满足（　　）

  A．a＜b＜1

  B．b＜a＜1

  C．b＞a＞1

  D．a＞b＞1
  组卷：90引用：13难度：0.9

  解析

三、解答题（本大题共6小题，共85分）

• 20．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  e

  2

  x

  -

  1

  （

  a

  x

  2

  -

  x

  +

  1

  2

  ）

  ．
  （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；
  （Ⅱ）若函数f（x）在x=0处取得极大值，求a的取值范围；
  （Ⅲ）若函数f（x）存在最小值，直接写出a的取值范围．
  组卷：284引用：5难度：0.2

  解析

• 21．设数阵A₀=

  a 11	a 12
  a 21	a 22

  ，其中a₁₁，a₁₂，a₂₁，a₂₂∈{1，2，…6}．设S={e₁，e₂，…e_l}⊆{1，2…6}，其中e₁＜e₂＜…＜e_l，l∈N*且l≤6．定义变换φ_k为“对于数阵的每一行，若其中有k或-k,则将这一行中每个数都乘以-1；若其中没有k且没有-k,则这一行中所有数均保持不变”（k=e₁，e₂，…e_l）．φ_s（A₀）表示“将A₀经过φ

  e

  1

  变换得到A₁，再将A₁经过φ

  e

  2

  变换的到A₂，…，以此类推，最后将A_l-1经过φ

  e

  l

  变换得到A_l”，记数阵A_l中四个数的和为T_S（A₀）．
  （Ⅰ）若A₀=

  1	2
  1	5

  ，写出A₀经过φ₂变换后得到的数阵A₁；
  （Ⅱ）若A₀=

  1	3
  3	6

  ，S={1，3}，求T_S（A₀）的值；
  （Ⅲ）对任意确定的一个数阵A₀，证明：T_S（A₀）的所有可能取值的和不超过-4．
  组卷：154引用：4难度：0.3

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