2010年全国初中数学联合竞赛试卷

一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）

• 1．若a,b,c均为整数且满足（a-b）¹⁰+（a-c）¹⁰=1，则|a-b|+|b-c|+|c-a|=（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：905引用：7难度：0.9

  解析

• 2．若实数a,b,c满足等式

  2

  a

  +

  3

  |

  b

  |

  =

  6

  ，

  4

  a

  -

  9

  |

  b

  |

  =

  6

  c

  ，则c可能取的最大值为（　　）

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  组卷：2455引用：6难度：0.9

  解析

• 3．若a,b是两个正数，且

  a

  -

  1

  b

  +

  b

  -

  1

  a

  +

  1

  =

  0

  ，则（　　）

  A． 0 ＜ a + b ≤ 1 3

  B． 1 3 ＜ a + b ≤ 1

  C． 1 ＜ a + b ≤ 4 3

  D． 4 3 ＜ a + b ≤ 2
  组卷：1250引用：3难度：0.5

  解析

• 4．若方程x²-3x-1=0的两根也是方程x⁴+ax²+bx+c=0的根，则a+b-2c的值为（　　）

  A．-13

  B．-9

  C．6

  D．0
  组卷：1608引用：3难度：0.5

  解析

三、解答题（共3小题，满分70分）

• 12．已知等腰三角形△ABC中，AB=AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD∥AC，交⊙I于点D．
  证明：PD是⊙I的切线．
  组卷：205引用：3难度：0.5

  解析

• 13．已知二次函数y=x²+bx-c的图象经过两点P（1，a），Q（2，10a）．
  （1）如果a,b,c都是整数，且c＜b＜8a,求a,b,c的值．
  （2）设二次函数y=x²+bx-c的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C．如果关于x的方程x²+bx-c=0的两个根都是整数，求△ABC的面积．
  组卷：616引用：8难度：0.5

  解析