2023年湖南省株洲二中自主招生数学试卷（一）

一、选择题

• 1．计算（1+

  2

  ）²⁰¹⁰（1-

  2

  ）²⁰¹¹的结果是（　　）

  A．1- 2

  B． 2 -1

  C．1

  D．-1
  组卷：470引用：3难度：0.9

  解析

• 2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，则

  AB

  CD

  -

  BC

  CD

  的值为（　　）

  A． 3 3

  B．3- 3

  C．6-3 3

  D． 3
  组卷：350引用：6难度：0.9

  解析

• 3．初三（1）班在今年的植树节领有平均每人植树6棵的任务，如果只由女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成，每人应植树的棵数为（　　）

  A．9

  B．10

  C．12

  D．14
  组卷：626引用：5难度：0.9

  解析

• 4．如图所示是一个正方体盒的平面展开图，如果在期中的三个正方形A、B、C中分别填入适当的数，使得它们折成正方体后，相对的面上的两个数互为相反数，那么填入A、B、C的三个数依次是（　　）

  A．1，-2，0

  B．-1，2，0

  C．-2，0，1

  D．-2，1，0
  组卷：225引用：3难度：0.5

  解析

• 5．根据下列表格的对应值，判断方程ax²+bx+c=0（a≠0，a,b,c为常数）一个解的范围是（　　）
  

  x	3.23	3.24	3.25	3.26
  ax2+bx+c	-0.06	-0.02	0.03	0.07

  A．3＜x＜3.23	B．3.23＜x＜3.24
  C．3.24＜x＜3.25	D．3.25＜x＜3.26
  组卷：102引用：6难度：0.7

  解析

三、解答题（13、14题各11分，15题12分，共34分）

• 14．推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列，丙可以看见甲、乙，乙可以看见甲但看不见丙，甲看不见乙、丙．现有5顶帽子，3顶白色，2顶黑色．老师分别给每人戴上一顶帽子（在各自不知道的情况下）．老师先问丙是否知道头上的帽子颜色，丙回答说不知道；老师再问乙是否知道头上的帽子颜色，乙也回答说不知道；老师最后问甲是否知道头上的帽子颜色，甲回答说知道．请你说出甲戴了什么颜色的帽子，并写出推理过程．
  组卷：598引用：4难度：0.5

  解析

• 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=

  1

  3

  ．
  （1）求这个二次函数的表达式．
  （2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
  （3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
  （4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．
  
  组卷：1459引用：50难度：0.1

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