2021-2022学年甘肃省庆阳市宁县高二（下）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．下列命题的证明最适合用分析法的是（　　）

  A．若a＞4，b＞8，证明：lna+lnb＞5ln2

  B．证明： 7 + 2 2 ＞ 5 + 10

  C．证明： 2 ， 5 ， 10 不可能成等比数列

  D．证明： sin 2 α + co s 2 α - si n 2 α ≤ 2
  组卷：38引用：2难度：0.7

  解析

• 2．下列各式正确的是（　　）

  A． （ sin π 5 ） ′ = cos π 5	B．（cosx）′=sinx
  C． （ lnx ） ′ = 1 x	D．（x+5）′=5
  组卷：78引用：1难度：0.8

  解析

• 3．已知函数f（x）的导函数f'（x）=x³，

  a

  =

  f

  （

  lo

  g

  2

  1

  3

  ）

  ，b=

  f

  （

  2

  -

  3

  4

  ）

  ，c=

  f

  （

  -

  2

  4

  3

  ）

  ，则（　　）

  A．b＜a＜c

  B．b＜c＜a

  C．a＜b＜c

  D．a＜c＜b
  组卷：138引用：3难度：0.6

  解析

• 4．函数f（x）=x的图像与g（x）=x³的图像所围成的图形的面积为（　　）

  A． 1 4

  B． 1 3

  C． 1 2

  D． 2 3
  组卷：56引用：2难度：0.8

  解析

• 5．用数学归纳法证明不等式

  1

  n

  +

  1

  +

  1

  n

  +

  2

  +

  ⋯

  +

  1

  n

  +

  n

  ＞

  13

  24

  （

  n

  ≥

  2

  ，

  n

  ∈

  N

  ）

  的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边增加了（　　）

  A． 1 2 （ k + 1 ）	B． 1 2 k + 1 + 1 2 k + 2
  C． 1 2 k + 1 - 1 k + 1	D． 1 2 k + 1 - 1 2 k + 2
  组卷：139引用：6难度：0.4

  解析

• 6．已知复数z满足（i-1）z=1+i,其中i是虚数单位，则

  z

  的虚部为（　　）

  A．-1

  B．1

  C．0

  D．2
  组卷：119引用：2难度：0.8

  解析

• 7．随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（　　）

  A．240

  B．480

  C．1440

  D．2880
  组卷：336引用：5难度：0.8

  解析

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
  （1）求甲学校获得冠军的概率；
  （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
  组卷：4914引用：16难度：0.8

  解析

• 22．已知函数f（x）=x-

  1

  4

  （2-a）x²-

  1

  2

  ax²lnx（e=2.71828⋯）
  （1）当a=-

  1

  2

  时，证明函数f（x）有两个极值点；
  （2）当0＜a≤1时，函数g（x）=f（x）-

  1

  2

  bx²-bx在（0，+∞）上单调递减，证明：b≥1+

  1

  e

  3

  ．
  组卷：116引用：2难度：0.3

  解析