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2014年4月全国100所名校单元测试示范卷数学（四）导数及其应用（理科）

发布：2024/4/20 14:35:0

1．已知f（x）=cosx,则f′（
5
π
6
）等于（　　）
A．
3
2
B．-
3
2
C．
1
2
D．-
1
2
组卷：176引用：2难度：0.9
解析
2．已知点A是曲线y=
3
ln x（x≥1）上的动点，在点A处的切线倾斜角为θ，则θ的取值范围是（　　）
A．[0，
π
2
] B．[0，
π
3
] C．（0，
π
3
] D．[
π
3
，
π
2
）
组卷：107引用：2难度：0.9
解析
3．已知
∫
π
3
0
（sin x+a）dx=1，则常数a的值为（　　）
A．
1
2
π
B．
1
π
C．
3
2
π
D．
9
2
π
组卷：35引用：1难度：0.9
解析
4．若函数f（x）=x³-3x+m恰有2个不同的零点，则实数m的值为（　　）
A．±2 B．±1 C．-2或1 D．-1或2
组卷：150引用：2难度：0.9
解析
5．函数f（x）=x+2cosx在区间[0，
π
2
]上取最小值时，x的值为（　　）
A．0 B．
π
6
C．
π
3
D．
π
2
组卷：100引用：4难度：0.9
解析
6．a＞3，则方程x³-ax²+1=0在（0，2）上恰好有（　　）
A．0个根 B．1个根 C．2个根 D．3个根
组卷：67引用：5难度：0.9
解析
7．如图是二次函数f（x）=
1
2
x²-bx+c的部分图象，则函数g（x）=ln x+f′（x）的零点所在的区间是（　　）
A．（
1
4
，
1
2
） B．（
1
2
，1） C．（1，2） D．（2，3）
组卷：140引用：3难度：0.7
解析

21．随着经济的发展，到某岛进行旅游观光的人数越来越多，交通问题已成为制约经济发展的重要因素，因此政府欲在大陆和岛屿之间（如图）建立一条高速通道以便于大陆和岛屿之间来往，大陆沿海线可近似看作函数f（x）=a^x（a＞1）的图象，且正好与直线y=x相切，而岛屿海岸线可近似看作函数g（x）=log_a（x-3）（a＞1）的图象．（每单位代表十万米）
（1）试求a的值及切点坐标．
（2）已知建成后的高速通道将开通高铁，并且高铁的最高时速不能超过300km/h,试问高铁能否在半小时内穿过高速通道？请说明理由．
组卷：13引用：2难度：0.5
解析
22．已知函数f（x）=ax²-lnx.
（1）求函数的单调区间与最值；
（2）若方程f（x）-k=0在区间[
1
e
，e]内有两个不相等的实根，求实数a的取值范围；
（3）当a=1时，函数g（x）=1-
f
（
x
）
x
2
，求证：
ln
2
2
4
+
ln
3
3
4
+…+
lnn
n
4
＜
1
2
e
．（其中e为自然对数的底数）
组卷：106引用：1难度：0.1
解析