2021年江苏省常州市前黄高级中学高考数学学情检测试卷（二）

一、单选题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知直线l和平面α，无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l（　　）

  A．相交

  B．平行

  C．垂直

  D．异面
  组卷：451引用：10难度：0.9

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• 2．已知数列{a_n}的通项为a_n=n²+λn（n∈N^*），则“a₁＜a₂”是数列{a_n}递增的（　　）条件

  A．充分非必要	B．必要非充分
  C．充要条件	D．既非充分也非必要
  组卷：412引用：1难度：0.7

  解析

• 3．某自来水厂一蓄水池可以用甲、乙两个水泵注水，单开甲泵需15小时注满，单开乙泵需18小时注满，若要求10小时注满水池，并且使两泵同时开放的时间尽可能地少，则甲、乙两水泵同时开放的时间最少需（　　）

  A．4小时

  B．7小时

  C．6小时

  D．14小时
  组卷：65引用：5难度：0.7

  解析

• 4．已知函数f（x）=3^|x-2|+x²-4x,且f（log₂a）＞f（3），则实数a的取值范围为（　　）

  A．（-∞，2）∪（8，+∞）	B．（0，2）
  C．（0，2）∪（8，+∞）	D．（8，+∞）
  组卷：504引用：4难度：0.6

  解析

• 5．数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏．如图就是一个迷你数独，玩家需要根据6×6盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3×2）内的数字均含1-6，每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的a+b+c+d=（　　）

  A．11

  B．13

  C．15

  D．17
  组卷：42引用：2难度：0.8

  解析

• 6．若x⁶=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+a₃（x+1）³+…+a₆（x+1）⁶，则a₃=（　　）

  A．20

  B．-20

  C．15

  D．-15
  组卷：1141引用：5难度：0.7

  解析

• 7．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层，内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率x～N（0.9372，0.0139²），若x～N（μ，σ²）（σ＞0），
  则P（μ-2σ＜x≤μ+2σ）=0.9545，P（μ-3σ＜x≤μ+3σ）=0.9973，0.97725⁵⁰≈0.3164．有如下命题：
  甲：P（x≤0.9）＜0.5；
  乙：P（x＜0.4）＞P（x＞1.5）；
  丙：P（x＞0.9789）=0.00135；
  丁：假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于μ+2σ的数量，则P（X≥1）≈0.6．其中假命题是（　　）

  A．甲

  B．乙

  C．丙

  D．丁
  组卷：80引用：4难度：0.7

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三、解答题：（本大题满分70分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤.

• 21．已知 A、B为椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）和双曲线

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足

  AP

  +

  BP

  =

  λ

  （

  AQ

  +

  BQ

  ）

  （

  λ

  ∈

  R

  ，

  |

  λ

  |

  ＞

  1

  ）

  ，设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄．
  （1）求证：点P、Q、O三点共线；
  （2）当a=2，b=

  3

  时，若点P、Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为

  1

  2

  ，求△BPQ的面积S；
  （3）若F₁、F₂分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF₁∥PF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．
  组卷：197引用：5难度：0.6

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• 22．已知函数f（x）=e^x-2x+sinx,g（x）=e^x（-sinx+cosx+a）．
  （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
  （Ⅱ）∃x₁，x₂∈[0，

  π

  2

  ]，使得不等式g（x₁）≥f（x₂）成立，求a的取值范围；
  （Ⅲ）不等式

  f

  ′

  （

  x

  ）

  -

  m

  x

  ＞lnx在（1，+∞）上恒成立．求整数m的最大值．
  组卷：342引用：4难度：0.4

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