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2020-2021学年四川大学附中高二（下）期中数学试卷（理科）

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z=1+（1+i）²（i是虚数单位），则z的虚部为（　　）
A．2 B．-2 C．2i D．3i
组卷：4引用：1难度：0.8
解析
2．用反证法证明命题“设a,b为实数，若f（x）=x³+ax+b在R上单调，则f（x）至多有一个零点”时，应假设为（　　）
A．函数f（x）至少有一个零点
B．函数f（x）至多有两个零点
C．函数f（x）没有零点
D．函数f（x）至少有两个零点
组卷：28引用：2难度：0.8
解析
3．点M的直角坐标为
（
-
2
3
，
2
）
化为极坐标为（　　）
A．
（
4
，
11
π
6
）
B．
（
4
，
5
π
3
）
C．
（
4
，
5
π
6
）
D．
（
4
，
2
π
3
）
组卷：44引用：1难度：0.8
解析
4．曲线y=x³-x在点（1，0）处的切线方程为（　　）
A．2x-y=0 B．2x+y-2=0 C．2x+y+2=0 D．2x-y-2=0
组卷：524引用：8难度：0.8
解析
5．设函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）=x²+3xf'（2）+lnx,则
lim
△
x
→
0
f
（
2
+
△
x
）
-
f
（
2
）
△
x
=（　　）
A．2 B．-2 C．
9
4
D．
-
9
4
组卷：18引用：1难度：0.8
解析
6．用数学归纳法证明1+2+3+…+n²=
n
4
+
n
2
2
，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（　　）
A．k²+1
B．（k+1）²
C．
（
k
+
1
）
4
+
（
k
+
1
）
2
2
D．（k²+1）+（k²+2）+（k²+3）+…+（k+1）²
组卷：882引用：59难度：0.9
解析
7．若在区间（0，5]内随机取一个数m,则抛物线x=my²的焦点F到其准线l的距离小于
1
3
的概率为（　　）
A．
2
15
B．
7
10
C．
1
15
D．
3
5
组卷：12引用：3难度：0.8
解析

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三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

21．已知椭圆
E
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的左，右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），点P在椭圆E上，PF₂⊥F₁F₂，且|PF₁|=3|PF₂|．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：x=my+1（m∈R）与椭圆E相交于A，B两点，与圆x²+y²=a²相交于C，D两点，求|AB|•|CD|²的取值范围．
组卷：420引用：5难度：0.6
解析
22．已知函数f（x）=
1
2
x²-ax+lnx（a∈R）．
（1）若f（x）在定义域上不单调，求a的取值范围；
（2）设a
＜
e
+
1
e
，m,n分别是f（x）的极大值和极小值，且S=m-n,求S的取值范围．
组卷：172引用：8难度：0.3
解析