2023年辽宁省沈阳市东北育才学校高考数学三模试卷

一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）

• 1．已知集合A={x|x²-x-12≤0}，B={x|x²-3mx+2m²+m-1＜0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（　　）

  A．[-3，2]

  B．[-1，3]

  C． [ - 1 ， 5 2 ]

  D． [ 2 ， 5 2 ]
  组卷：146引用：2难度：0.7

  解析

• 2．《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”充分体现了中国古典哲学与现代数学的关系，从直角坐标系中的原点，到数轴中的两个半轴（正半轴和负半轴），进而到平面直角坐标系中的四个象限和空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到繁复的变化过程．现将平面向量的运算推广到n（n≥3）维向量，用有序数组（x₁，x₂，…，x_n）表示n（n≥3）维向量，已知n维向量

  a

  =（-1，1，1，…，1），

  b

  =（1，1，1，…，1），则（　　）

  A． | a + b | = n - 1	B． a • b = n - 1
  C． cos 〈 a ， b 〉 = n - 2 n	D．存在λ∈R使得 b = λ a
  组卷：107引用：5难度：0.6

  解析

• 3．将函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  sin

  （

  ωx

  +

  π

  6

  ）

  （ω＞0）的图像向左平移

  π

  3

  个单位，得到函数y=g（x）的图像，若函数y=g（x）的一个极值点是

  π

  6

  ，且在

  [

  -

  π

  3

  ，

  π

  6

  ]

  上单调递增，则ω的值为（　　）

  A． 2 3

  B． 4 3

  C． 8 3

  D． 16 3
  组卷：324引用：4难度：0.6

  解析

• 4．法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的蒙日圆为C：x²+y²=

  4

  3

  a

  2

  ，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则椭圆Γ的离心率为（　　）

  A． 2 2

  B． 3 2

  C． 3 3

  D． 6 3
  组卷：146引用：3难度：0.6

  解析

• 5．数列{F_n}满足F₁=F₂=1，F_n+2=F_n+1+F_n（n∈N⁺），现求得{F_n}的通项公式为

  F

  n

  =

  A

  •

  （

  1

  +

  5

  2

  ）

  n

  +

  B

  •

  （

  1

  -

  5

  2

  ）

  n

  ，A，B∈R，若[x]表示不超过x的最大整数，则

  [

  （

  1

  +

  5

  2

  ）

  8

  ]

  的值为（　　）

  A．43

  B．44

  C．45

  D．46
  组卷：148引用：5难度：0.4

  解析

• 6．若集合N={z|z=

  2

  [cos（arcsint）+i•cos（arccost）]，t∈R，|t|≤1}，M={z|z=

  t

  1

  +

  t

  +

  1

  +

  t

  t

  i

  ，t∈R，t≠-1，t≠0}，则M∩N中元素的个数为（　　）

  A．0

  B．1

  C．2

  D．4
  组卷：38引用：2难度：0.6

  解析

• 7．在三棱锥A-BCD中，AB=BC=CD=DA=2

  2

  ，∠ADC=∠ABC=90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别在线段OB，CD上运动（端点除外），BE=

  2

  CF．当三棱锥E-ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（　　）

  A．π

  B． 3 π

  C． 3 2 π

  D．2π
  组卷：117引用：3难度：0.5

  解析

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）

• 21．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂作一条渐近线的垂线交C于点P，垂足为Q，|QF₂|=1，|PF₁|-|PF₂|=4，M、N为双曲线左右顶点．
  （1）求双曲线C的方程；
  （2）设过点G（4，0）的动直线l交双曲线C右支于A，B两点（A在第一象限），若直线AM，BN的斜率分别为k_AM，k_BN．
  （ⅰ）试探究k_AM与k_BN的比值

  k

  AM

  k

  BN

  是否为定值．若是定值，求出这个定值：若不是定值，请说明理由；
  （ⅱ）求

  k

  2

  AM

  +

  1

  3

  k

  BN

  的取值范围．
  组卷：156引用：3难度：0.2

  解析

• 22．已知函数f（x）=xe^x-1+（1-a）lnx,g（x）=lnx+ax.
  （1）当a=1时，求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
  （2）当a=2时，对于在（0，1）中的任意一个常数b,是否存在正数x₀，使得

  e

  g

  （

  x

  0

  +

  1

  ）

  -

  3

  x

  0

  -

  2

  +

  b

  2

  x

  2

  0

  ＜

  1

  ，请说明理由；
  （3）设h（x）=f（x）-g（x），x₁是h（x）的极小值点，且h（x₁）≥0，证明：

  h

  （

  x

  1

  ）

  ≥

  2

  （

  x

  2

  1

  -

  x

  3

  1

  ）

  ．
  组卷：112引用：2难度：0.2

  解析