2022-2023学年浙江省宁波市余姚市高二（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．直线y=x+1的倾斜角为（　　）

  A．0

  B． π 4

  C． π 2

  D． 3 π 4
  组卷：34引用：1难度：0.7

  解析

• 2．已知

  a

  =

  （

  1

  ，

  2

  ，

  5

  ）

  ，

  b

  =

  （

  x

  -

  2

  ，

  1

  ，

  x

  ）

  ，若

  a

  ∥

  b

  ，则x=（　　）

  A．-2

  B． 1 2

  C． 5 2

  D． 7 2
  组卷：103引用：1难度：0.7

  解析

• 3．曲线f（x）=

  lnx

  x

  在点（1，f（1））处的切线方程为（　　）

  A．x+y=0

  B．x-y=0

  C．x+y-1=0

  D．x-y-1=0
  组卷：324引用：3难度：0.7

  解析

• 4．已知F是椭圆

  x

  2

  16

  +

  y

  2

  7

  =

  1

  的左焦点，P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为（-2，1），则|PQ|+|PF|的最小值为（　　）

  A． 1 + 2

  B． 8 - 26

  C．3

  D． 2 + 5
  组卷：132引用：1难度：0.5

  解析

• 5．在四面体ABCD中，△ABC为正三角形，DB⊥平面ABC，且AB=BD，若

  3

  AE

  =

  AB

  ，

  2

  CF

  =

  CD

  ，则异面直线DE和BF所成角的余弦值等于（　　）

  A． 26 13

  B． - 26 13

  C． 2 39 39

  D． - 2 39 39
  组卷：63引用：1难度：0.6

  解析

• 6．某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为{a_n}，在数列{a_n}的任意相邻两项a_k与a_k+1（k=1，2，⋯）之间插入3^k个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{b_n}．按新数列{b_n}的各项依次派遣支教学生．记S₅₀为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则S₅₀的值为（　　）

  A．198

  B．200

  C．240

  D．242
  组卷：55引用：1难度：0.6

  解析

• 7．已知圆C：x²+y²=1，椭圆Γ：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  3

  =1，过C上任意一点P作圆C的切线l,交Γ于A，B两点，过A，B分别作椭圆Γ的切线，两切线交于点Q，则|OQ|（O为坐标原点）的最大值为（　　）

  A．16

  B．8

  C．4

  D．2
  组卷：114引用：4难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，∠ABC=

  π

  3

  ，AB=BC，PA=2．点A在平面PBC内的投影恰好为△PBC的重心E，连接PE并延长交BC于F．
  （Ⅰ）求证：AF⊥BC；
  （Ⅱ）求平面ACE与平面ABCD所成夹角的余弦值．
  组卷：72引用：3难度：0.4

  解析

• 22．已知双曲线C：x²-y²=λ（λ＞0），焦点F到其中一条渐近线的距离为

  3

  ．
  （Ⅰ）求：λ；
  （Ⅱ）动点M，N在曲线C上，已知点A（2，-1），直线AM，AN分别与y轴相交的两点关于原点对称，点Q在直线MN上，AQ⊥MN，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．
  组卷：60引用：1难度：0.4

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