2022-2023学年浙江大学附中高二（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．直线l：

  3

  x-3y+1=0的倾斜角为（　　）

  A． π 3

  B． π 4

  C． π 6

  D． π 2
  组卷：308引用：6难度：0.8

  解析

• 2．已知直线l的方向向量为

  m

  ，平面α的法向量为

  n

  ，则“

  m

  •

  n

  =

  0

  ”是“l∥α”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：161引用：14难度：0.8

  解析

• 3．若直线l₁：2mx-y+1=0与l₂：（m-l）x+my+2=0互相垂直，则实数m=（　　）

  A． 2 3

  B．-1或0

  C． 3 2 或0

  D． 3 2
  组卷：104引用：3难度：0.7

  解析

• 4．如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在面对角线A₁B上，满足

  A

  1

  E

  =

  1

  3

  A

  1

  B

  ，点F为面对角线B₁D₁的中点，若

  A

  A

  1

  =

  a

  ，

  AB

  =

  b

  ，

  AD

  =

  c

  ，则

  EF

  =（　　）

  A． 1 3 a + 1 6 b + 1 2 c	B． 1 6 a + 1 3 b + 1 2 c
  C． 1 2 a + 1 3 b + 1 6 c	D． 1 6 a + 1 2 b + 1 3 c
  组卷：74引用：5难度：0.8

  解析

• 5．某学校高一年级、高二年级、高三年级的学生数量之比为2：m：1，为了解该校学生的住宿情况，现用比例分配的分层抽样方法抽取一个容量为n的样本，在样本中，高二年级学生比高一年级多40位，比高三年级多80位，则n=（　　）

  A．240

  B．280

  C．320

  D．360
  组卷：71引用：3难度：0.8

  解析

• 6．已知x,y满足x²+y²+2x-2y-3=0，若不等式2x+y-c＜0恒成立，则c的取值范围是（　　）

  A．（-∞，-4）

  B．（4，+∞）

  C．（6，+∞）

  D．（-6，4）
  组卷：32引用：4难度：0.6

  解析

• 7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B为平面上两点，且

  OA

  •

  OB

  =0，M为线段AB中点，其坐标为（a,b），若

  5

  |

  OM

  |

  =

  |

  2

  a

  +

  b

  -

  4

  |，则|OM|的最小值为（　　）

  A． 5 5

  B． 2 5 5

  C． 3 3

  D． 5
  组卷：21引用：4难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，△PAC为正三角形，E，F分别是棱PC，PB上的点，且满足

  PE

  PC

  =

  PF

  PB

  =λ（0＜λ＜1）．
  （1）求证：BC⊥AE；
  （2）是否存在λ，使得直线AP与平面AEF所成角的正弦值为

  21

  14

  ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：16引用：2难度：0.5

  解析

• 22．已知点E（4cosα，0），F（0，4sinα）（α∈R）为平面直角坐标系xOy中的点，点P为线段EF的中点，当α变化时，点P形成的轨迹π与x轴交于点A，B（A点在左侧），与y轴正半轴交于点C．
  （1）求P点的轨迹π的方程；
  （2）设点M是轨迹π上任意一点（不在坐标轴上），直线CM交x轴于点D⊥，直线BM交直线AC于点N．
  ①若D点坐标为（2

  3

  ，0），求线段CM的长；
  ②求证：2k_ND-k_MB为定值．
  组卷：26引用：1难度：0.9

  解析