2023-2024学年北京市首都师大附中高一（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

• 1．设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x²-3x＜0}，则A∩B=（　　）

  A．{-1}

  B．{1，2}

  C．{1，2，3}

  D．{-1，0，1，2}
  组卷：361引用：12难度：0.9

  解析

• 2．下列各组函数表示同一函数的是（　　）

  A． f （ x ） = x 2 ， g （ x ） = （ x ） 2

  B．f（x）=1，g（x）=x0

  C．f（x）= x , x ≥ 0 - x , x ＜ 0 ，g（x）=|x|

  D．f（x）=x+1， g （ x ） = x 2 - 1 x - 1
  组卷：130引用：2难度：0.8

  解析

• 3．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  x 2 - 1 ， x ≤ 1

  1 x - 1 ， x ＞ 1

  ，则f（f（-2））=（　　）

  A．8

  B． 1 2

  C． - 3 4

  D． - 10 9
  组卷：128引用：15难度：0.7

  解析

• 4．“x＜3”是“|x-1|＜2”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分又不必要条件
  组卷：104引用：3难度：0.8

  解析

• 5．“∃x∈N，x-1＜0”的否定为（　　）

  A．∃x∈N，x-1≥0

  B．∃x∉N，x-1≥0

  C．∀x∉N，x-1≥0

  D．∀x∈N，x-1≥0
  组卷：31引用：3难度：0.8

  解析

• 6．对于实数a,b,c,下列说法正确的是（　　）

  A．若a＞b,则 1 a ＜ 1 b	B．若a＞b,则ac2＞bc2
  C．若a＞0＞b,则ab＜a2	D．若c＞a＞b,则 a c - a ＞ b c - b
  组卷：1182引用：24难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

• 19．已知函数f（x）的定义域为R，并且满足下列条件：
  ①f（-1）=1；②对任意x,y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）；③当x＞0时，f（x）＜0．
  （Ⅰ）求f（0），f（2）的值；
  （Ⅱ）证明：f（x）为奇函数；
  （Ⅲ）解关于x的不等式f（x²+2x）-f（2-x）＞-2．
  组卷：132引用：1难度：0.5

  解析

• 20．对于函数f（x），若存在实数x₀，使得f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的“不动点”．
  （Ⅰ）设函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  3

  x

  +

  2

  x

  +

  2

  ，求f（x）的不动点；
  （Ⅱ）设函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0），若对于任意的实数b,函数f（x）恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；
  （Ⅲ）设函数f（x）定义在（-∞，+∞）上．证明：若f（f（x））存在唯一的不动点，则f（x）也存在唯一的不动点．
  组卷：43引用：1难度：0.5

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