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2017-2018学年上海交大附中高二（下）开学数学试卷

发布：2024/4/20 14:35:0

一、填空题

1．复数2+3i（i是虚数单位）的模是
．
组卷：298引用：5难度：0.7
解析
2．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线A₁B与B₁C所成角的大小为
．
组卷：1855引用：44难度：0.7
解析
3．已知点A（1，3）、B（4，-1），则与
AB
方向相同的单位向量的坐标为
．
组卷：132引用：4难度：0.7
解析
4．已知双曲线
x
2
4
-
y
2
5
=1，则以双曲线的焦点为顶点，以双曲线顶点为焦点的椭圆方程为
．
组卷：13引用：1难度：0.8
解析
5．已知两圆x²+y²=10和（x-1）²+（y-3）²=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是
．
组卷：1601引用：38难度：0.7
解析
6．将参数方程
x
=
1
+
2
cosθ
y
=
2
sinθ
（θ为参数）化成普通方程为
．
组卷：263引用：13难度：0.7
解析
7．已知椭圆
x
2
t
2
+
y
2
5
t
=
1
的焦距为2
6
，则实数t=
．
组卷：179引用：5难度：0.7
解析

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三、解答题

20．现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）．在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图1）．在直角坐标平面内，我们定义A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点间的“直角距离”为：D_（AB）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
（1）在平面直角坐标系中如图2，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标．（格点指横、纵坐标均为整数的点）
（2）求到两定点F₁、F₂的“直角距离”和为定值2a（a＞0）的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹
①F₁（-1，0），F₂（1，0），a=2
②F₁（-1，-1），F₂（1，1），a=2；
③F₁（-1，-1），F₂（1，1），a=4．
（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）．
①到A（-1，-1），B（1，1）两点“直角距离”相等；
②到C（-2，-2），D（2，2）两点“直角距离”和最小．
组卷：132引用：3难度：0.3
解析
21．过抛物线的一条弦的中点作平行于抛物线对称轴的平行线（或与对称轴重合），交抛物线于一点，称以该点及弦的端点为顶点的三角形为这条弦的阿基米德三角形（简称阿氏三角形）．
现有抛物线M：y=ax²，直线l：y=bx+c（其中a,b,c是常数，且a＞0），直线l交抛物线M于A，B两点，设弦AB的阿氏三角形是△ABC．
（1）指出抛物线M的焦点坐标和准线方程；
（2）求△ABC的面积（用a,b,c表示）；
（3）称AB的阿氏△ADC为一阶的；AC、BC的阿氏△ABC、△BCE为二阶的；AD、DC、CE、EB的阿氏三角形为三阶的；……，由此进行下去，记所有的k（k∈N^•）阶阿氏三角形的面积之和为S_k，探索S_k与s_k+1之间的关系，并求

lim
n
→∞
（S₁+S₂+……+S_n）．
组卷：83引用：1难度：0.2
解析