2023年重庆市高考数学质检试卷（2月份）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知集合A={1，a²}，B={1，9，a}，若A⊆B，则实数a组成的集合为（　　）

  A．{-3，-1，0，3}

  B．{-3，3}

  C．{-1，0，3}

  D．{-3，0，3}
  组卷：193引用：3难度：0.9

  解析

• 2．复数

  z

  =

  1

  -

  i

  3

  1

  -

  i

  的虚部为（　　）

  A．1

  B．-1

  C．i

  D．-i
  组卷：194引用：2难度：0.7

  解析

• 3．重庆南滨路钟楼地处长江与嘉陵江交汇处，建筑通过欧式风格将巴渝文化和开埠文化结合，展示了重庆的悠久历史．如图所示，可以将南滨路钟楼看作一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从8：00到10：00这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为60°的次数为（　　）

  A．2

  B．4

  C．6

  D．8
  组卷：53引用：1难度：0.6

  解析

• 4．若O为坐标原点，

  OA

  =（n,m），

  OB

  =（

  4

  n

  ，p），F（4，0），|

  AF

  |=m+1，|

  BF

  |=p+1，则m+p的最小值是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．6
  组卷：167引用：3难度：0.6

  解析

• 5．为帮助某贫困山区的基层村镇完成脱贫任务，某单位要从5名领导和6名科员中选出4名人员去某基层村镇做帮扶工作，要求选出人员中至少要有2名领导，且必须有科员参加，则不同的选法种数是（　　）

  A．210

  B．360

  C．420

  D．720
  组卷：207引用：3难度：0.8

  解析

• 6．某钟表的秒针端点A到表盘中心O的距离为5cm,秒针绕点O匀速旋转，当时间t=0时，点A与表盘上标“12”处的点B重合．在秒针正常旋转过程中，A，B两点的距离d（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数解析式为（　　）

  A． d = 10 sin π 60 t （ t ≥ 0 ）

  B． d = 10 cos π 60 t （ t ≥ 0 ）

  C． d = 10 sin π 60 t , 120 k ≤ t ≤ 60 + 120 k , k ∈ N - 10 sin π 60 t , 60 + 120 k ＜ t ＜ 120 （ k + 1 ） ， k ∈ N

  D． d = 10 cos π 60 t , 120 k ≤ t ≤ 30 + 120 k , k ∈ N - 10 cos π 60 t , 30 + 120 k ＜ t ＜ 90 + 120 k , k ∈ N
  组卷：134引用：4难度：0.6

  解析

• 7．已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为

  6

  ，底面边长为

  2

  3

  ，则以P为球心，2为半径的球面与正三棱锥表面的交线长为（　　）

  A． （ 1 + 3 3 ） π

  B． （ 1 + 2 3 ） π

  C． （ 1 + 3 2 ） π

  D． （ 1 + 2 2 ） π
  组卷：110引用：2难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．抛物线C₁：x²=4y,双曲线C₂：

  y

  2

  a

  2

  -

  x

  2

  b

  2

  =1且离心率e=

  5

  ，过C₂曲线下支上的一点

  M

  （

  3

  4

  ，

  m

  ）

  作C₁的切线，其斜率为-

  1

  2

  ．
  （1）求C₂的标准方程；
  （2）直线l与C₂交于不同的两点P，Q，以PQ为直径的圆过点

  N

  （

  0

  ，

  1

  2

  ）

  ，过点N作直线l的垂线，垂足为H，则平面内是否存在定点D，使得DH为定值，若存在，求出定值和定点D得坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：334引用：6难度：0.5

  解析

• 22．已知

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  x

  ．
  （1）求函数y=f（x）的导数，并证明：函数y=f（x）在[e,+∞）上是严格减函数（常数e为自然对数的底）；
  （2）根据（1），判断并证明89⁹⁹与99⁸⁹的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；
  （3）已知a、b是正整数，a＜b,a^b=b^a，求证：a=2，b=4是满足条件的唯一一组值．
  组卷：240引用：3难度：0.3

  解析