2020-2021学年江苏省苏州中学高二（下）期初数学试卷

一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

• 1．已知集合A={x|x²+2x-3≥0}，B={x|log₂（x+1）＜2}，则A∩B=（　　）

  A．（-1，3）	B．[1，3）
  C．（0，3）	D．（-∞，-3]∪[-1，+∞）
  组卷：61引用：5难度：0.9

  解析

• 2．设a,b∈R，则“a＞b＞-1”是“

  1

  a

  +

  1

  ＜

  1

  b

  +

  1

  ”的（　　）

  A．充分而不必要条件	B．必要而不充分条件
  C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：202引用：6难度：0.7

  解析

• 3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₉=54，a₁₁+a₁₂+a₁₃=27，则S₁₆=（　　）

  A．120

  B．60

  C．160

  D．80
  组卷：794引用：11难度：0.8

  解析

• 4．“∀x∈R，ax²+ax+1＞0恒成立”的一个充分不必要条件是（　　）

  A．0≤a＜4

  B．a＞4

  C．0＜a＜3

  D．0≤a＜5
  组卷：77引用：3难度：0.8

  解析

• 5．阿基米德（公元前287年-公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家．他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础．他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为

  1

  2

  ，面积为

  2

  3

  π

  ，则椭圆C的方程为（　　）

  A． x 2 4 + y 2 3 = 1

  B． x 2 9 + y 2 16 = 1

  C． x 2 3 + y 2 4 = 1

  D． x 2 16 + y 2 9 = 1
  组卷：277引用：6难度：0.8

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• 6．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙．大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍．小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半．如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第（　　）

  A．3天

  B．4天

  C．5天

  D．6天
  组卷：448引用：4难度：0.7

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• 7．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，从点F出发的光线第一象限内抛物线上一点P反射后的光线所在直线方程为y=2，若入射光线FP的斜率为

  4

  3

  ，则抛物线方程为（　　）

  A．y2=8x

  B．y2=6x

  C．y2=4x

  D．y2=2x
  组卷：97引用：4难度：0.7

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四、解答题（本大题共6小题，共70分．）

• 21．已知数列{a_n}满足a₁=

  3

  2

  ，a_n=2-

  1

  a

  n

  -

  1

  ，n≥2，n∈N^*．
  （Ⅰ）证明：数列

  {

  1

  a

  n

  -

  1

  }

  为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
  （Ⅱ）若c_n=

  a

  n

  n

  •

  2

  n

  ，记数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：

  3

  4

  ≤T_n＜1．
  组卷：563引用：4难度：0.4

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• 22．如图，椭圆E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e=

  1

  2

  ．过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8．
  （Ⅰ）求椭圆E的方程．
  （Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
  组卷：2136引用：31难度：0.3

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