2021-2022学年上海市杨浦区控江中学高三（下）开学数学试卷

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分48分）

• 1．已知集合A={-2，1，2}，B=

  {

  a

  +

  1

  ，

  a

  }

  ，且B⊆A，则实数a的值是

  ．
  组卷：148引用：7难度：0.9

  解析

• 2．若直线l的参数方程为

  x = 4 - 4 t

  y = - 2 + 3 t

  ，t∈R，则直线l在y轴上的截距是

   

  ．
  组卷：171引用：3难度：0.9

  解析

• 3．如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的5倍，那么它的底面半径应该扩大为原来的

  倍．
  组卷：111引用：2难度：0.7

  解析

• 4．平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上，如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作

  个三角形（结果用数值表示）．
  组卷：160引用：3难度：0.8

  解析

• 5．把三阶行列式

  2 x	0	3
  x	4	0
  1	x - 3	- 1

  中第1行第3列元素的代数余子式记为f（x），则关于x的不等式f（x）＜0的解集为

  ．
  组卷：31引用：3难度：0.5

  解析

• 6．焦点在y轴上，焦距为6，且经过点（0，

  5

  ）的双曲线的标准方程为

  ．
  组卷：32引用：1难度：0.7

  解析

• 7．已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为

  米
  组卷：149引用：3难度：0.5

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分0分）

• 20．（1）设椭圆

  C

  1

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  与双曲线

  C

  2

  ：

  9

  x

  2

  -

  9

  y

  2

  8

  =

  1

  有相同的焦点F₁、F₂，M是椭圆C₁与双曲线C₂的公共点，且△MF₁F₂的周长为6，求椭圆C₁的方程；
  （2）我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”如图，已知“盾圆D”的方程为

  y

  2

  =

  4 x

  - 12 （ x - 4 ）

  （ 0 ≤ x ≤ 3 ）

  （ 3 ＜ x ≤ 4 ）

  ，设“盾圆D”上的任意一点M到F（1，0）的距离为d₁，M到直线l：x=3的距离为d₂，求证：d₁+d₂为定值；
  （3）由抛物线弧

  E

  1

  ：

  y

  2

  =

  4

  x

  （

  0

  ≤

  x

  ≤

  2

  3

  ）

  与第（1）小题椭圆弧E₂：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（

  2

  3

  ≤x≤a）所合成的封闭曲线为“盾圆E”，设“盾圆E”上的两点A、B关于x轴对称，O为坐标原点，试求△OAB面积的最大值．
  组卷：69引用：2难度：0.5

  解析

• 21．已知函数f（x）=log₂x.
  （1）若f（x）的反函数是f^-1（x），解方程：f^-1（2x+1）=3f^-1（x）-1；
  （2）当x∈（3m,3m+3]（m∈N）时，定义g（x）=f（x-3m）．设a_n=n•g（n），数列{a_n}的前n项和为S_n，求a₁、a₂、a₃、a₄和S_3n；
  （3）对于任意a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c.当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，f（a）、f（b）、f（c）也总能作为某个三角形的三边长，试探究M的最小值．
  组卷：75引用：4难度：0.1

  解析