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2023年湖北省武汉市高考数学调研试卷（4月份）

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={x|x²-x-6＜0}，B={x|2x+3＞0}，则A∩B=（　　）
A．
（
-
2
，-
3
2
）
B．
（
3
2
，
3
）
C．
（
-
3
2
，
3
）
D．
（
-
3
2
，
2
）
组卷：101引用：3难度：0.9
解析
2．若复数
a
+
3
i
2
+
i
是纯虚数，则实数a=（　　）
A．
-
3
2
B．
3
2
C．
-
2
3
D．
2
3
组卷：365引用：12难度：0.8
解析
3．已知
sin
（
α
+
π
3
）
=
3
5
，则
sin
（
2
α
+
π
6
）
=（　　）
A．
24
25
B．
-
24
25
C．
7
25
D．
-
7
25
组卷：851引用：11难度：0.7
解析
4．正六边形ABCDEF中，用
AC
和
AE
表示
CD
，则
CD
=（　　）
A．
-
2
3
AC
+
1
3
AE
B．
-
1
3
AC
+
2
3
AE
C．
-
2
3
AC
+
2
3
AE
D．
-
1
3
AC
+
1
3
AE
组卷：409引用：7难度：0.6
解析
5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题．现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a_n}，则a₁₀=（　　）
A．55 B．49 C．43 D．37
组卷：108引用：7难度：0.7
解析
6．设抛物线y²=6x的焦点为F，准线为l,P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|=（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
组卷：270引用：6难度：0.6
解析
7．阅读下段文字：“已知
2
为无理数，若
（
2
）
2
为有理数，则存在无理数
a
=
b
=
2
，使得a^b为有理数；若
（
2
）
2
为无理数，则取无理数
a
=
（
2
）
2
，
b
=
2
，此时
a
b
=
（
（
2
）
2
）
2
=
（
2
）
2
•
2
=
（
2
）
2
=
2
为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（　　）
A．
（
2
）
2
是有理数
B．
（
2
）
2
是无理数
C．存在无理数a,b,使得a^b为有理数
D．对任意无理数a,b,都有a^b为无理数
组卷：77引用：7难度：0.7
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

21．过点（4，2）的动直线l与双曲线E：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
交于M，N两点，当l与x轴平行时，|MN|=4
2
，当l与y轴平行时，|MN|=4
3
．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）点P是直线y=x+1上一定点，设直线PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，若k₁k₂为定值，求点P的坐标．
组卷：459引用：3难度：0.3
解析
22．已知函数f（x）=xlnx-
k
x
，其中k＞0．
（1）证明：f（x）恒有唯一零点；
（2）记（1）中的零点为x₀，当0＜k＜
e
2
时，证明：f（x）图象上存在关于点（x₀，0）对称的两点．
组卷：251引用：2难度：0.6
解析

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2023年湖北省武汉市高考数学调研试卷（4月份）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={x|x2-x-6＜0}，B={x|2x+3＞0}，则A∩B=（ ）

2．若复数a+3i2+i是纯虚数，则实数a=（ ）

3．已知sin（α+π3）=35，则sin（2α+π6）=（ ）

4．正六边形ABCDEF中，用AC和AE表示CD，则CD=（ ）

6．设抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l,P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|=（ ）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22．已知函数f（x）=xlnx-kx，其中k＞0．（1）证明：f（x）恒有唯一零点；（2）记（1）中的零点为x0，当0＜k＜e2时，证明：f（x）图象上存在关于点（x0，0）对称的两点．

1．已知集合A={x|x²-x-6＜0}，B={x|2x+3＞0}，则A∩B=（　　）

2．若复数
a
+
3
i
2
+
i
是纯虚数，则实数a=（　　）

3．已知
sin
（
α
+
π
3
）
=
3
5
，则
sin
（
2
α
+
π
6
）
=（　　）

4．正六边形ABCDEF中，用
AC
和
AE
表示
CD
，则
CD
=（　　）

6．设抛物线y²=6x的焦点为F，准线为l,P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|=（　　）

22．已知函数f（x）=xlnx-
k
x
，其中k＞0．
（1）证明：f（x）恒有唯一零点；
（2）记（1）中的零点为x₀，当0＜k＜
e
2
时，证明：f（x）图象上存在关于点（x₀，0）对称的两点．