2010年新课标七年级数学竞赛培训第30讲：创新命题
发布：2024/11/26 3:0:2
一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）
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1．现定义两种运算：
，对于任意两个整数a,b,
=a+b-1，
=ab-1，那么
．组卷：48引用：1难度：0.9 -
2．对于任意有理数a,b,c,d,我们规定
，如果abcd=ad-bc，那么x的取值范围是2x2-1-1＜8．组卷：115引用：5难度：0.9 -
3．餐厅里有两种餐桌，方桌可坐4人，圆桌可坐9人，若就餐人数刚好坐满若干张方桌和圆桌，餐厅经理就称此数为“发财数”，在1～100这100个数中，“发财数”有
个．组卷：99引用：2难度：0.5 -
4．读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为
，这里“∑”是求和符号．例如：“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为100∑n=1n；又如“13+23+33+43+53+63+73+83+93+103”可表示为50∑n=1（2n-1）．同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：10∑n=1n3
①2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为；
②计算：=（填写最后的计算结果）．5∑n=1（n2-1）组卷：278引用：5难度：0.5 -
5．一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16=52-32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1990个“智慧数”是
．组卷：160引用：1难度：0.9 -
6．△表示一种运算，它的含义是x△y=
，已知2△1=1xy+1（x+1）（y+A），那么2001△2002的值是．12×1+1（2+1）（1+A）=23组卷：88引用：1难度：0.7 -
7．若规定a△b=
，那么方程3△|x|=4的解x=．a+2b2组卷：126引用：2难度：0.5 -
8．对一切正整数n,有f（n+1）=f（n）+n,且f（1）=1，则f（n）=
．组卷：56引用：1难度：0.7 -
9．将自然数N接写在每一个自然数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为“魔术数”．在小于130的自然数中，魔术数的个数为
．组卷：82引用：2难度：0.5
三、解答题（共12小题，满分93分）
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27．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式（a-d）（b-c）＞0，那么就可以交换b,c的位置，这称为一次操作．
（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有（a-d）（b-c）≤0？请说明理由．
（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有（a-d）（b-c）≤0？请说明理由．
组卷：114引用：4难度：0.5 -
28．假设a#a+b表示经过计算后a的值变为a的原值和b的原值的和，又b#b•c表示经过计算后b的值变为b的原值和c的原值相乘，假设计算开始时a=0，b=1，c=1，对a、b、c同时进行以下计算：
（1）a#a+b；
（2）b#b•c；
（3）c#a+b+c（即c的值变为所得到的a、b的值与c的原值的和）．
连续进行上述运算共三次，试判断a、b、c三个数值之和是几位数？组卷：51引用：1难度：0.3
