2023-2024学年辽宁省沈阳市东北育才双语学校高二（上）期中数学试卷

一、单选题.（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

• 1．过点P（0，-1）作直线l,若直线l与连接A（-2，1），

  B

  （

  2

  3

  ，

  1

  ）

  两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为（　　）

  A． [ π 4 ， π 6 ]	B． [ π 6 ， 3 π 4 ]
  C． [ 0 ， π 6 ] ∪ [ 3 π 4 ， π ）	D． [ π 6 ， π 2 ] ∪ [ 3 π 4 ， π ）
  组卷：208引用：14难度：0.8

  解析

• 2．如图，空间四边形OABC中，

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，点M在

  OA

  上，且满足

  OM

  =2

  MA

  ，点N为BC的中点，则

  NM

  =（　　）

  A． 2 3 a - 1 2 b - 1 2 c	B．- 2 3 a + 1 2 b + 1 2 c
  C． 1 2 a + 1 2 b - 1 2 c	D． 1 2 a - 2 3 b + 1 2 c
  组卷：327引用：14难度：0.7

  解析

• 3．若圆C：x²+y²-4x-4y-8=0上至少有三个不同的点到直线l：x-y+c=0的距离为2，则c的取值范围是（　　）

  A．[-2 2 ，2 2 ]

  B．（-2 2 ，2 2 ）

  C．[-2，2]

  D．（-2，2）
  组卷：225引用：5难度：0.6

  解析

• 4．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该拿伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e,则e²=（　　）
  

  A． 1 9

  B．7-2 3

  C．3-2 2

  D．3 3 -5
  组卷：284引用：18难度：0.6

  解析

• 5．2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，山东也成为备选地之一．若每个部门从六个旅游地中选择一个旅游地，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（　　）

  A．1800

  B．1080

  C．720

  D．360
  组卷：398引用：18难度：0.6

  解析

• 6．甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件A：甲和乙选择的活动各不同，事件B：甲和乙恰好一人选择①，则P（B|A）等于（　　）

  A． 1 5

  B． 2 5

  C． 9 25

  D． 9 20
  组卷：262引用：5难度：0.7

  解析

• 7．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，以F₂为圆心的圆与x轴交于F₁，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段AF₁与C交于点M，若|BM|与C的焦距的比值为

  31

  3

  ，则C的离心率为（　　）

  A． 3 + 1 2

  B． 3 2

  C． 5 + 1 2

  D． 7 + 1 2
  组卷：214引用：7难度：0.5

  解析

四、解答题.（共6题，共70分）

• 21．如图，在棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱DD₁上的一点，且D₁E=2DE．
  （1）若点F满足

  BF

  =

  2

  F

  B

  1

  ，求证：CF∥平面A₁EC₁；
  （2）底面ABCD内是否存在一点P，使得PD₁⊥平面A₁C₁E？若存在，求出线段DP的长度；若不存在，请说明理由．
  组卷：82引用：6难度：0.7

  解析

• 22．已知点F（1，0）是抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，O为坐标原点，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
  （1）求抛物线C的方程；
  （2）求

  OA

  •

  OB

  的值；
  （3）如图，过点F的直线l₂交抛物线于C，D两点（点A，C在x轴的同侧，x_A＞x_C），且l₁⊥l₂，直线AC与直线BD的交点为E，记△EFC，ACF的面积分别为S₁，S₂，求

  S

  1

  S

  2

  的取值范围．
  组卷：103引用：2难度：0.2

  解析