2013年四川省成都市树德中学自主招生数学试卷

一、选择题；本题共9小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．对任意实数x,多项式x⁸-x⁵+x²+1的值为（　　）

  A．总大于零

  B．总小于零

  C．可能等于零

  D．以上都不对
  组卷：46引用：1难度：0.5

  解析

• 2．某珠宝店失窃，甲、乙、丙、丁四人涉嫌被拘审，四人的口供如下：甲：作案的是丙；乙：丁是作案者；丙：如果我作案，那么丁是主犯；丁：作案的不是我．如果四人口供中只有一个是假的，那么以下判断正确的是（　　）

  A．说假话的是甲，作案的是乙

  B．说假话的是丁，作案的是丙和丁

  C．说假话的是乙，作案的是丙

  D．说假话的是丙，作案的是丙
  组卷：265引用：1难度：0.9

  解析

• 3．已知抛物线y=

  1

  2

  x²+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（-1，0）点D是抛物线y=

  1

  2

  x²+bx-2的顶点，点M（m,0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是（　　）

  A． 25 40

  B． 24 41

  C． 23 40

  D． 25 41
  组卷：185引用：1难度：0.9

  解析

• 4．下图的4个图形中，只有一个是由如图的纸板折叠而成的，则正确的是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：101引用：1难度：0.7

  解析

• 5．如图所示，已知△ABC面积为1，点D、E、F分别在BC、CA、AB上，且BD=2DC，CE=2EA，AF=2FB，AD、BE、CF两两相交于P、Q、R，则△PQR的面积为（　　）

  A． 1 5

  B． 1 6

  C． 1 7

  D． 1 14
  组卷：923引用：1难度：0.5

  解析

• 6．有40个学生参加数学奥林匹克竞赛，他们必须解决一个代数问题、一个几何学问题和一个三角学问题．具体情况如下表述：
  

  问题	解决问题的学生数
  代数学问题	20
  几何学问题	18
  三角学问题	18
  代数学问题和几何学问题	7
  代数学问题和三角学问题	8
  几何学问题和三角学问题	9

  其中有三位同学一个问题都没有解决，则三个问题都解决的学生数是（　　）

  A．5

  B．6

  C．7

  D．8
  组卷：123引用：1难度：0.3

  解析

• 7．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2

  2

  ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（　　）

  A．2

  B． 2

  C． 3

  D．3
  组卷：1436引用：8难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）

• 20．已知：如图，⊙O与⊙A相交于C，D两点，A，O分别是两圆的圆心，△ABC内接于⊙O，弦CD交AB于点G，交⊙O的直径AE于点F，连接BD．
  （1）求证：△ACG∽△DBG；
  （2）求证：AC²=AG•AB；
  （3）若⊙A，⊙O的直径分别为

  6

  5

  ，15，且CG：CD=1：4，求AB和BD的长．
  组卷：376引用：12难度：0.1

  解析

• 21．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=

  2

  3

  x²+bx+c经过点B，且顶点在直线x=

  5

  2

  上．
  （1）求抛物线对应的函数关系式；
  （2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
  （3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
  （4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作MN∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t,△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．
  组卷：850引用：24难度：0.5

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