2023-2024学年北京171中学高二（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题4分，共40分）

• 1．圆x²+y²-2x+4y+3=0的圆心坐标为（　　）

  A．（-2，4）

  B．（2，-4）

  C．（1，-2）

  D．（-1，2）
  组卷：151引用：13难度：0.9

  解析

• 2．若直线l₁：x-y+1=0与l₂：x+ay-1=0垂直，则实数a=（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．-1
  组卷：59引用：2难度：0.9

  解析

• 3．若椭圆

  x

  2

  25

  +

  y

  2

  =

  1

  上一点P到椭圆一个焦点的距离为6，则P到另一个焦点的距离为（　　）

  A．3

  B．4

  C．5

  D．6
  组卷：81引用：7难度：0.7

  解析

• 4．已知空间向量

  m

  =（3，1，3），

  n

  =（-1，λ，-1），且

  m

  ∥

  n

  ，则实数λ=（　　）

  A．- 1 3

  B．-3

  C． 1 3

  D．6
  组卷：1173引用：11难度：0.8

  解析

• 5．已知直线ax+y-2+a=0在两坐标轴上的截距相等，则实数a=（　　）

  A．1

  B．-1

  C．-2或1

  D．2或1
  组卷：997引用：27难度：0.7

  解析

• 6．直线y=x-b与曲线

  x

  =

  4

  -

  y

  2

  有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围为（　　）

  A． { - 2 2 ， 2 2 }

  B． （ - 2 ， 2 ] ∪ { 2 2 }

  C． [ - 2 ， 2 2 ） ∪ { 2 2 }

  D． [ - 2 ， 2 ） ∪ { 2 2 }
  组卷：294引用：6难度：0.5

  解析

• 7．已知四面体A-BCD的所有棱长都等于2，E是棱AB的中点，F是棱CD靠近C的四等分点，则

  EF

  •

  AC

  等于（　　）

  A． - 1 2

  B． 1 2

  C． - 5 2

  D． 5 2
  组卷：240引用：8难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共6小题，满分85分）

• 20．已知椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点分别为F₁，F₂，其中右焦点坐标为（1，0），该椭圆的离心率为

  1

  2

  ．
  （1）求椭圆的标准方程；
  （2）已知点P（1，t）为椭圆上一点，过点F₂的直线l与椭圆交于异于点P的A，B两点，若△PAB的面积是

  9

  2

  7

  ，求直线l的方程．
  组卷：105引用：1难度：0.5

  解析

• 21．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼•闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段|AB|是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用d（A，B）表示，又称“曼哈顿距离”，即d（A，B）=|AC|+|CB|，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则d（A，B）=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．
  （1）①点A（3，5），B（2，-1），求d（A，B）的值．
  ②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．
  （2）已知点B（1，0），直线2x-y+2=0，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
  （3）设三维空间4个点为A_i=（x_i，y_i，z_i），i=1，2，3，4，且x_i，y_i，z_i∈{0，1}．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即

  d

  ，求

  d

  最大值，并列举最值成立时的一组坐标．
  组卷：263引用：6难度：0.3

  解析