2023-2024学年北京市育才学校高三（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

• 1．已知集合A={x|x²-3x+2＜0}，B={x|x≥1}，则A∪B=（　　）

  A．（-∞，2]

  B．（1，+∞）

  C．（1，2）

  D．[1，+∞）
  组卷：371引用：3难度：0.9

  解析

• 2．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（　　）

  A．y=lgx

  B．y=x3

  C．y=sinx

  D． y = x 1 2
  组卷：65引用：2难度：0.8

  解析

• 3．已知向量

  a

  =（x+1，2），

  b

  =（-1，x）．若

  a

  与

  b

  垂直，则|

  b

  |=（　　）

  A．1

  B． 2

  C．2

  D．4
  组卷：63引用：5难度：0.9

  解析

• 4．已知直线m⊥平面α，n表示直线，β表示平面，有以下四个结论：①α⊥β⇒m∥β；②m∥n,n⊂β⇒α⊥β；③n∥α⇒m⊥n；④若β与m相交，则β与α相交．其中正确的结论的个数是（　　）

  A．4

  B．3

  C．2

  D．1
  组卷：13引用：2难度：0.6

  解析

• 5．△ABC中，“

  ∠

  A

  =

  π

  4

  ”是“

  sin

  A

  =

  2

  2

  ”的（　　）条件．

  A．充分而不必要	B．必要而不充分
  C．充分且必要	D．既不充分也不必要
  组卷：206引用：1难度：0.8

  解析

• 6．函数y=2sin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（　　）
  

  A．y=2sin（2x- π 4 ）	B．y=2sin（2x+ π 4 ）
  C．y=2sin（x+ 3 π 8 ）	D．y=2sin（ x 2 + 7 π 16 ）
  组卷：1825引用：7难度：0.9

  解析

• 7．设数列{a_n}是首项为1公比为3的等比数列，把{a_n}中的每一项都减去2后，得到一个新数列{b_n}，{b_n}的前n项和为S_n，对任意的n∈N^*，下列结论正确的是（　　）

  A．bn+1=3bn，且Sn= 1 2 （3n-1）

  B．bn+1=3bn-2，且Sn= 1 2 （3n-1）

  C．bn+1=3bn+4，且Sn= 1 2 （3n-1）-2n

  D．bn+1=3bn-4，且Sn= 1 2 （3n-1）-2n
  组卷：372引用：3难度：0.5

  解析

三、解答题：本大题共6小题，共85分.

• 20．已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常数．
  （Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；
  （Ⅱ）证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；
  （Ⅲ）讨论函数y=f（x）零点的个数．
  组卷：178引用：5难度：0.1

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• 21．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”．如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a,b,c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为P_n，所有项的和记为S_n．
  （Ⅰ）求P₁，P₂；
  （Ⅱ）若P_n≥2020，求n的最小值；
  （Ⅲ）是否存在实数a,b,c,使得数列{S_n}为等比数列？若存在，求a,b,c满足的条件；若不存在，说明理由．
  组卷：178引用：3难度：0.3

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