2022-2023学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高二（上）期初数学试卷

一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．

• 1．已知集合A={x|2x+3＞9}，B={x∈N|-x+1＞-5}，则A∩B=（　　）

  A．（3，6）

  B．{3，4，5}

  C．{4，5}

  D．（4，5）
  组卷：43引用：5难度：0.8

  解析

• 2．已知

  a

  +

  3

  i

  1

  +

  i

  （i为虚数单位，a∈R）为纯虚数，则a=（　　）

  A．-1

  B．1

  C．-3

  D．3
  组卷：183引用：2难度：0.8

  解析

• 3．某高校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．则根据直方图这400名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（　　）

  A．60

  B．90

  C．130

  D．250
  组卷：419引用：6难度：0.8

  解析

• 4．若向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  2

  ）

  ，

  b

  -

  a

  =

  （

  3

  ，

  4

  ）

  ，则

  a

  •

  b

  =（　　）

  A．5

  B．11

  C．16

  D．18
  组卷：32引用：2难度：0.7

  解析

• 5．“

  tanα

  =

  3

  ”是“

  cosα

  =

  1

  2

  ”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：103引用：2难度：0.8

  解析

• 6．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥．“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以㳟，其形露矣．”现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABC-A₁B₁C₁，其中AC⊥BC，若AA₁=AB=2，当“阳马”即四棱锥B-A₁ACC₁体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的表面积为（　　）

  A．4π

  B． 8 2 3 π

  C．16π

  D．8π
  组卷：244引用：4难度：0.5

  解析

• 7．已知△ABC中，

  BD

  =

  1

  3

  BC

  ，

  AE

  =

  1

  2

  AC

  ，AD与BE交于点P，且

  AP

  =

  λ

  AD

  ，

  BP

  =

  μ

  BE

  ，则λ+μ=（　　）

  A． 3 4

  B． 5 4

  C． 5 6

  D． 7 6
  组卷：210引用：3难度：0.7

  解析

四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上的点．
  （1）求证：平面BDE⊥平面PAC；
  （2）求二面角P-BC-A的平面角的大小；
  （3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积．
  组卷：63引用：1难度：0.5

  解析

• 22．已知函数f（x）=2^x，h（x）=x²-4x+5m,φ（x）与f（x）互为反函数．
  （1）求φ（x）的解析式；
  （2）若函数y=φ（h（x））在区间（3m-2，m+2）内有最小值，求实数m的取值范围；
  （3）若函数

  g

  （

  x

  ）

  =

  φ

  （

  4

  x

  x

  +

  1

  ）

  （x＞0），关于方程[g（x）]²+a|g（x）|+a+3=0有三个不同的实数解，求实数a的取值范围．
  组卷：569引用：4难度：0.5

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