2020-2021学年山东省青岛二中高三（上）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

• 1．已知集合M={x|x²-x-6≤0}，N={x∈Z|1≤x≤3}，则M∩N=（　　）

  A．[1，3）

  B．[1，3]

  C．{1，2}

  D．{1，2，3}
  组卷：7引用：1难度：0.8

  解析

• 2．若复数

  z

  =

  1

  +

  i

  2020

  1

  -

  i

  ，则

  z

  在复平面中的点位于第（　　）象限．

  A．一

  B．二

  C．三

  D．四
  组卷：10引用：1难度：0.9

  解析

• 3．在△ABC中，已知D为AB上一点，若

  AD

  =

  3

  DB

  ，则

  CD

  =（　　）

  A． 3 4 CA + 1 4 CB

  B． 1 4 CA + 3 4 CB

  C． 3 CA - CB

  D． CA - 3 CB
  组卷：42引用：4难度：0.7

  解析

• 4．已知定义在R上的奇函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，且f（e）=0，则不等式（e^x-1）f（x）＞0的解集为（　　）

  A．（e,+∞）	B．（-∞，-e）∪（e,+∞）
  C．（-e,0）∪（e,+∞）	D．（-e,0）∪（0，e）
  组卷：58引用：3难度：0.6

  解析

• 5．下列说法错误的是（　　）

  A．“m＞1”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点”的充分不必要条件

  B．命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则一定有A=B”是假命题

  C．设命题p：∀x∈[1，3），函数f（x）=log2（tx2+2x-2）恒有意义，若￢p为真命题，则的取值范围为（-∞，0]

  D．命题“∃x0∈R， e x 0 ≤0”是假命题
  组卷：3引用：1难度：0.8

  解析

• 6．意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达芬奇的经典之作一《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷．某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB=6.98cm,BC=7.03cm,AC=12.6cm,根据测得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间（　　）

  A． （ π 6 ， π 4 ）

  B． （ π 4 ， π 3 ）

  C． （ π 3 ， 5 π 12 ）

  D． （ 5 π 12 ， π 2 ）
  组卷：31引用：2难度：0.6

  解析

• 7．胶州大白菜距今已经有一千多年的种植历史了，今年有望喜获丰收．某中学数学兴趣小组进行社会调查，了解到某一销售中心为了实现白菜销售100万元的利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%．同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合这一销售中心要求的是（　　）（参考数据：1.015¹⁰⁰≈4.432，lg11≈1.041）

  A．y=log11（3x-10）	B．y=1.015x-1
  C． y = tan （ x 19 - 1 ）	D．y=0.04x
  组卷：15引用：1难度：0.6

  解析

四、解答题

• 21．已知

  P

  （

  2

  3

  ，

  2

  6

  3

  ）

  是椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  与抛物线E：y²=2px（p＞0）的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F．
  （1）求椭圆C及抛物线E的方程；
  （2）A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线OA，OB的斜率之积为

  -

  3

  4

  （注：O为坐标原点），点M是线段OA的中点，连接BM并延长交椭圆C于点N，求

  |

  BM

  |

  |

  MN

  |

  的值．
  组卷：317引用：4难度：0.6

  解析

• 22．设函数f_n（x）=xⁿ+bx-1（n∈N^*，b∈R）．
  （1）当n=2时，对∀x₁、x₂∈[0，1]，都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|_max=4，求b的值；
  （2）当n≥2且b=1时，证明：f_n（x）在区间

  （

  1

  2

  ，

  1

  ）

  内存在唯一零点x_n，判断并证明数列x₂，x₃，…，x_n，…的单调性．
  组卷：7引用：1难度：0.4

  解析