2023年湖南省部分名校联盟高考数学冲刺压轴试卷（5月份）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知集合A={x|log₂（x-2023）＜1}，B=N，则集合A∩B中元素个数为（　　）

  A．1

  B．2

  C．2023

  D．2024
  组卷：26引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知复数z=

  2

  +

  3

  i

  a

  -

  i

  （a∈R）是纯虚数，则a的值等于（　　）

  A．- 3 2

  B．- 2 3

  C．1

  D． 3 2
  组卷：19引用：4难度：0.9

  解析

• 3．阅读下列材料：有理数都能表示成

  p

  q

  （p,q∈Z，且q≠0，p与q互质）的形式，从而有理数集

  Q

  =

  {

  p

  q

  |

  p

  ,

  q

  ∈

  Z

  ，

  q

  ≠

  0

  ，p与q互质}，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或者无限循环小数也可以化为

  p

  q

  的形式，从而是有理数．例如：

  0

  .

  .

  3

  =

  1

  3

  ．循环小数

  1

  .

  .

  2

  .

  7

  化成分数为（　　）

  A． 4 3

  B． 28 27

  C． 82 81

  D． 14 11
  组卷：94引用：2难度：0.7

  解析

• 4．在△ABC中，已知AC=3，向量

  AB

  在向量

  AC

  上的投影向量为

  AC

  |

  AC

  |

  ，点D是BC边上靠近C的三等分点，则

  AD

  •

  AC

  =（　　）

  A．3

  B．6

  C．7

  D．9
  组卷：79引用：2难度：0.5

  解析

• 5．已知α是直线x-2y+3=0的倾斜角，则

  2

  sin

  （

  α

  +

  π

  4

  ）

  +

  sinα

  cos

  2

  α

  的值为（　　）

  A． 4 3

  B． 4 5 3

  C． 4 5 15

  D． 3 5 20
  组卷：136引用：3难度：0.9

  解析

• 6．学校校园从教室到寝室的一排路灯共12盏，按照规定，如果两端有坏了的路灯或者中间同时坏了相邻的两盏或两盏以上的路灯，就必须马上维修，已知这排路灯坏了3盏，则这排路灯必须马上维修的概率为（　　）

  A． 41 55

  B． 21 55

  C． 21 44

  D． 23 44
  组卷：54引用：2难度：0.7

  解析

• 7．定义：与圆锥的底面和各母线均相切的球，称为圆锥的内切球，此圆锥称为球的外切圆锥．已知某圆锥的内切球半径等于1，则该圆锥体积的最小值为（　　）

  A． 5 π 9

  B．3π

  C． 8 π 3

  D． 5 π 2
  组卷：89引用：2难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

• 21．已知双曲线

  C

  ：

  x

  2

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  b

  ＞

  0

  ）

  的一个焦点到其一条渐近线的距离等于其离心率．
  （1）求双曲线C的方程；
  （2）若直线l与椭圆

  y

  2

  2

  +

  x

  2

  =

  1

  相切，且与双曲线C的左、右支分别交于A，B两点，与双曲线C的渐近线分别交于E，F两点．D（0，2），O为坐标原点，记△DAB，△OEF的面积分别为S₁，S₂，当

  7

  15

  5

  •

  S

  1

  -

  S

  2

  =

  4

  时，求直线l的方程．
  组卷：78引用：3难度：0.3

  解析

• 22．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  ln

  （

  1

  +

  x

  ）

  ，

  g

  （

  x

  ）

  =

  ax

  e

  x

  ，

  f

  ′

  （

  x

  ）

  与g′（x）分别是f（x）与g（x）的导函数．
  （1）证明：当a=1时，方程f′（x）=g′（x）在（-1，0）上有且仅有一个实数根；
  （2）若对任意的x∈（0，+∞），不等式f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
  组卷：26引用：2难度：0.3

  解析