2022-2023学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷

一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

• 1．已知集合A={x|x²-6x+8≤0}，B={x||x-1|＜2，x∈Z}，则A∩B=

  ．
  组卷：115引用：1难度：0.7

  解析

• 2．已知

  a

  =

  （

  1

  ，

  0

  ）

  ，

  b

  =

  （

  3

  ，

  4

  ）

  ，则向量

  a

  在向量

  b

  方向上的数量投影为

  ．
  组卷：42引用：2难度：0.8

  解析

• 3．已知直线l₁：mx-y+1=0，直线l₂：4x-my+2=0，若l₁∥l₂，则m=

  ．
  组卷：209引用：5难度：0.8

  解析

• 4．已知复数z满足

  z

  i=3+4i（i是虚数单位），则|z|=
  组卷：125引用：5难度：0.8

  解析

• 5．函数y=

  x

  2

  +

  3

  x

  2

  +

  2

  的最小值是

   

  ．
  组卷：206引用：6难度：0.5

  解析

• 6．母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于

  8

  π

  5

  ，则该圆锥的体积为

  ．
  组卷：109引用：5难度：0.6

  解析

• 7．直线l过点P（2，3），当原点到直线l的距离最大时，直线l的方程为

  ．
  组卷：212引用：1难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共5道小题，共78分）

• 20．直线l与抛物线y²=4x交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB的斜率之积为-1，以线段AB的中点为圆心，

  2

  为半径的圆与直线l交于P、Q两点．
  （1）求证：直线l过定点；
  （2）求AB中点的轨迹方程；
  （3）设M（6，0），求|MP|²+|MQ|²的最小值．
  组卷：88引用：1难度：0.3

  解析

• 21．已知△ABC的三个顶点都在椭圆Γ：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  3

  =1上．
  （1）设它的三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，M，且三条边所在线的斜率分别为k₁，k₂，k₃，且k₁，k₂，k₃均不为0．点O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1．求证：

  1

  k

  1

  +

  1

  k

  2

  +

  1

  k

  3

  为定值；
  （2）当O是△ABC的重心时，求证：△ABC的面积是定值；
  （3）如图，设△ABC的边AB所在直线与x轴垂直，垂足为椭圆右焦点F，过点F分别作直线l₁、l₂与椭圆交于C、D、E、G（不同于A、B两点），连结CG、DE与AB分别交于M、N，求证：|FM|=|FN|．
  组卷：57引用：1难度：0.6

  解析