《第1章 导数及其应用》2010年单元测试卷（3）

一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）

• 1．函数f（x）=sinx+2xf′（

  π

  3

  ），f′（x）为f（x）的导函数，令a=-

  1

  2

  ，b=log₃2，则下列关系正确的是（　　）

  A．f（a）＞f（b）

  B．f（a）＜f（b）

  C．f（a）=f（b）

  D．f（|a|）＜f（b）
  组卷：369引用：17难度：0.7

  解析

• 2．已知曲线y=

  1

  8

  x²的一条切线的斜率为

  1

  2

  ，则切点的横坐标为（　　）

  A．4

  B．3

  C．2

  D． 1 2
  组卷：15引用：11难度：0.9

  解析

• 3．函数f（x）=x³+x在点x=1处的切线方程为（　　）

  A．4x-y+2=0

  B．4x-y-2=0

  C．4x+y+2=0

  D．4x+y-2=0
  组卷：815引用：21难度：0.9

  解析

• 4．若函数f（x）=e^x+ae^-x，其导函数是奇函数，并且曲线y=f（x）的一条切线的斜率是

  3

  2

  ，则切点的横坐标是（　　）

  A． - ln 2 2

  B．-ln2

  C． ln 2 2

  D．ln2
  组卷：24引用：3难度：0.9

  解析

• 5．已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x²+2x•f′（2），则f（-1）与f（1）的大小关系为（　　）

  A．f（-1）=f（1）

  B．f（-1）＞f（1）

  C．f（-1）＜f（1）

  D．不确定
  组卷：135引用：34难度：0.7

  解析

• 6．已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x+4），当x＞2时，f（x）单调递增，若x₁+x₂＜4且（x₁-2）（x₂-2）＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值（　　）

  A．恒大于0

  B．恒小于0

  C．可能等于0

  D．可正可负
  组卷：1341引用：41难度：0.9

  解析

二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）

• 7．若曲线f（x）=x⁴-x+2在点发P处的切线与直线x+3y-1=0垂直，则点P的坐标是

  ．
  组卷：30引用：7难度：0.7

  解析

• 8．函数y=x+2cosx在区间[0，π]上的最大值为

  ．
  组卷：90引用：9难度：0.5

  解析

• 9．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c的一个零点为x=1，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一双曲线的离心率，则a+b+c=

  ；

  b

  a

  的取值范围是

  ．
  组卷：61引用：5难度：0.7

  解析

• 10．若函数f（x）=x³+x²+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是

  ．
  组卷：89引用：21难度：0.5

  解析

三、解答题（共17小题，满分211分）

• 29．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OA在第一象限，且与x轴的正半轴成定角60°，动点P在射线OA上运动，动点Q在y轴的正半轴上运动，△POQ的面积为

  2

  3

  ．
  （1）求线段PQ中点M的轨迹C的方程；
  （2）R₁，R₂是曲线C上的动点，R₁，R₂到y轴的距离之和为1，设u为R₁，R₂到x轴的距离之积．问：是否存在最大的常数m,使u≥m恒成立？若存在，求出这个m的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：146引用：2难度：0.1

  解析

• 30．已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
  （Ⅰ）求a,b的值；
  （Ⅱ）若方程f（x）+m=0在

  [

  1

  e

  ，

  e

  ]

  内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；
  （Ⅲ）令g（x）=f（x）-kx,若g（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（其中x₁＜x₂），AB的中点为C（x₀，0），求证：g（x）在x₀处的导数g′（x₀）≠0．
  组卷：461引用：21难度：0.1

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